P4718 【模板】Pollard-Rho算法
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P4718 【模板】Pollard-Rho算法
题目描述
Miller Rabin 算法是一种高效的质数判断方法。虽然是一种不确定的质数判断法，但是在选择多种底数的情况下，正确率是可以接受的。
Pollard Rho是一个非常玄学的方式，用于在\(O(n^{1/4})\)的期望时间复杂度内计算合数n的某个非平凡因子。事实上算法导论给出的是\(O(\sqrt p)\)，\(p\)是\(n\)的某个最小因子，满足\(p\)与\(n/p\)互质。但是这些都是期望，未必符合实际。但事实上Pollard Rho算法在实际环境中运行的相当不错。
这里我们要写一个程序，对于每个数字检验是否是质数，是质数就输出Prime；如果不是质数，输出它最大的质因子是哪个。
输入格式
第一行，\(T\)代表数据组数（不大于\(350\)）
以下\(T\)行，每行一个整数\(n\)，保证\(1 < n\le 10^{18}\)。
输出格式
输出\(T\)行。
对于每组测试数据输出结果。
样例 #1
样例输入 #1
6
2
13
134
8897
1234567654321
1000000000000
样例输出 #1
Prime
Prime
67
41
4649
5
解题思路
pollard_rho
pollard_rho 算法可以较快求出 \(n\) 的一个非平凡因子（即不包括 \(1\) 和本身），主要在于随机找到这样的 \(x\)，使得 \(d=gcd(x,n)\)，如果 \(1< d< n\)，\(d\) 即为所求，\(\color{red}{如何快速这样的 x 呢？}\)首先需要引入生日悖论，即至少有 \(23\) 人能使两个人生日相同的概率达到 \(50\%\)，不妨构造这样一个伪随机函数 \(f(x)=(x^2+c)\bmod\ n\)，其生成一个随机数序列 \(\{x_i\}\)，由生日悖论，这样的不同值的数量有 \(O(\sqrt{n})\) 个，设 \(m\) 为 \(n\) 的最小非平凡因子（\(m\leq \sqrt{n}\)），记 \(y_i=x_i(\bmod m)\)，推导如下：
故其也会生成一个 \(\{y_i\}\) 序列，数量为 \(O(m)\)，由赛跑原则，即两人同时同地跑步，速度不同，最终两个相遇时相差的距离一定是整个跑道长度的整数倍。现在需要找到一个不同的 \(i,j\)，使得 \(x_i\neq x_j\&\&y_i= y_j\)，时间复杂度为 \(O(\sqrt{m})\) 时有大概 \(\frac{1}{2}\) 的概率这样的 \(i,j\)，故：
- 时间复杂度：\(O(m)=O(n^{\frac{1}{4}})\)
代码
// Problem: P4718 【模板】Pollard-Rho算法
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4718
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int test_time=20;
int t;
LL n,res;
LL ksm(LL a,LL b,LL p)
{
LL res=1%p;
while(b)
{
if(b&1)res=(__int128)res*a%p;
a=(__int128)a*a%p;
b>>=1;
}
return res;
}
bool miller_rabin(LL n)
{
if(n<3||n%2==0)return n==2;
LL a=n-1,b=0;
while(a%2==0)a>>=1,b++;
for(int i=1,j;i<=test_time;i++)
{
LL x=rand()%(n-2)+2,v=ksm(x,a,n);
if(v==1)continue;
for(j=0;j<b;j++)
{
if(v==n-1)break;
v=(__int128)v*v%n;
}
if(j>=b)return false;
}
return true;
}
LL pollard_rho(LL x)
{
LL s=0,t=0;
LL c=(LL)rand()%(x-1)+1;
int i=1,j=0;
LL v=1;
for(i=1;;i<<=1,s=t,v=1)
{
for(int j=1;j<=i;j++)
{
t=((__int128)t*t+c)%x;
v=(__int128)v*abs(t-s)%x;
if(j%127==0)
{
LL d=__gcd(v,x);
if(d>1)return d;
}
}
LL d=__gcd(v,x);
if(d>1)return d;
}
}
void fac(LL x)
{
if(x<=res||x<2)return ;
if(miller_rabin(x))
{
res=max(res,x);
return ;
}
LL p=x;
while(p>=x)p=pollard_rho(p);
while(x%p==0)x/=p;
fac(x),fac(p);
}
int main()
{
for(scanf("%d",&t);t;t--)
{
res=0;
srand(time(0));
scanf("%lld",&n);
fac(n);
if(res==n)puts("Prime");
else
printf("%lld\n",res);
}
return 0;
}
