P5854 【模板】笛卡尔树

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P5854 【模板】笛卡尔树

题目描述

给定一个 $1 \sim n$ 的排列 $p$，构建其笛卡尔树。

即构建一棵二叉树，满足：

1. 每个节点的编号满足二叉搜索树的性质。
2. 节点 $i$ 的权值为 $p_i$，每个节点的权值满足小根堆的性质。

输入格式

第一行一个整数 $n$。

第二行一个排列 $p_{1 \dots n}$。

输出格式

设 $l_i,r_i$ 分别表示节点 $i$ 的左右儿子的编号（若不存在则为 $0$）。

一行两个整数，分别表示 $\operatorname{xor}_{i = 1}^n i \times (l_i + 1)$ 和 $\operatorname{xor}_{i = 1}^n i \times (r_i + 1)$。

样例 #1

样例输入 #1

5
4 1 3 2 5

样例输出 #1

19 21

提示

【样例解释】

$i$	$l_i$	$r_i$
$1$	$0$	$0$
$2$	$1$	$4$
$3$	$0$	$0$
$4$	$3$	$5$
$5$	$0$	$0$

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，$n \le 10^3$。

对于 $60\%$ 的数据，$n \le 10^5$。

对于 $80\%$ 的数据，$n \le 10^6$。

对于 $90\%$ 的数据，$n \le 5 \times 10^6$。

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le 10^7$。

解题思路

笛卡尔树

笛卡尔树=堆+二叉搜索树
一般对于一个序列建立笛卡尔树，将 $a[i]$ 建堆的同时将 $i$ 建二叉搜索树，用栈维护最右链，栈顶元素即最右链最底部的下标，以最小堆为例，对于新插入的节点 $a[i]$，找到最右链第一个不大于 $a[i]$ 的节点 $j$，则由最小堆的性质，$i$ 必须作为 $j$ 的一个子节点，而还要求下标满足二叉搜索树的性质，$i$ 应该作为 $j$ 的右儿子，而原来 $j$ 的右儿子 $k$，$a[k]>a[i]$，其应该成为 $i$ 的左儿子

• 时间复杂度：$O(n)$

代码

// Problem: P5854 【模板】笛卡尔树
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5854
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e7+5;
int n,a[N],l[N],r[N];
int stk[N],top;
int main()
{
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	read(a[i]);
    	int k=top;
    	while(k>0&&a[stk[k]]>a[i])k--;
    	if(k)r[stk[k]]=i;
    	if(k<top)l[i]=stk[k+1];
    	stk[++k]=i;
    	top=k;
    }
    LL L=0,R=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	L^=(LL)i*(l[i]+1),R^=(LL)i*(r[i]+1);
    printf("%lld %lld",L,R);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16815699.html
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