3134. 魔法手链

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3134. 魔法手链

给定 $m$ 种不同颜色的魔法珠子，每种颜色的珠子的个数都足够多。

现在要从中挑选 $n$ 个珠子，串成一个环形魔法手链。

魔法珠子之间存在 $k$ 对排斥关系，互相排斥的两种颜色的珠子不能相邻，否则会发生爆炸。（同一种颜色的珠子之间也可能存在排斥）

请问一共可以制作出多少种不同的手链。

注意，如果两个手链经旋转后能够完全重合在一起，对应位置的珠子颜色完全相同，则视为同一种手链。

答案对 $9973$ 取模。

输入格式

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

每组数据第一行包含三个整数 $n,m,k$。

接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $a,b$，表示颜色 $a$ 的珠子不能和颜色 $b$ 的珠子相邻。

$m$ 种颜色编号为 $1 \sim m$。

输出格式

每组数据输出一行一个整数，表示答案。

数据范围

$1 \le T \le 10$,
$1 \le n \le 10^9$,
$gcd(n, 9973) = 1$,
$1 \le m \le 10$,
$0 \le k \le \frac{m(m+1)}{2}$,
$1 \le a,b \le m$

输入样例：

4
3 2 0
3 2 1
1 2
3 2 2
1 1
1 2
3 2 3
1 1
1 2
2 2

输出样例：

4
2
1
0

解题思路

burnside

本题即 3133. 串珠子 的加强版，由于多了循环置换之间的限制，所以不能用 polya 定理，只能用 burnside 引理

本题只考虑旋转，每次旋转 $k$ 次，旋转的次数为 $n/gcd(k,n)$，共 $gcd(k,n)$ 个可能相交的循环置换，则每次置换时只用考虑长度为 $gcd(k,n)$ 这段形成环的方案数，先考虑对于非环的情况，$dp$ 求解，$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个点最后一个点为 $j$ 时的方案数，这部分答案为前一个合法状态的总和，但 $n$ 过大，考虑矩阵优化，设 $F[i]=f[i][j]$，可以发现：$F[i+1]=F[i]\times A$，其中 $A$ 为限制矩阵，则有 $F^n=F_1\times A^n$，故可用矩阵乘法优化 $dp$，另外这里不需要考虑环的情况，因为矩阵乘法已经满足首尾限制了，还有一点，由于 $n$ 过大，不可能枚举所有的 $k$，但是可以找出有多少个这样的 $gcd(k,n)$，设 $d=gcd(k,n)$，则这样的 $d$ 有 $\phi{(n/d)}$ 个

$int$ 范围内的最多约数个数为 $1600$，故：

• 时间复杂度：$O(T\times 1600\times (m^3\times logn+\sqrt{n})$

代码

// Problem: 魔法手链
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3137/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=15,mod=9973;
int t,n,m,k;
struct matrix
{
	int a[N][N];
	matrix()
	{
		memset(a,0,sizeof a);
	}
};
matrix operator*(matrix a,matrix b)
{
	matrix c;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			for(int k=1;k<=m;k++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
	return c;
}
int phi(int n)
{
	int res=n;
	for(int i=2;i<=n/i;i++)
		if(n%i==0)
		{
			res=res/i*(i-1);
			while(n%i==0)n/=i;
		}
	if(n>1)res=res/n*(n-1);
	return res%mod;
}
int ksm(matrix a,int n)
{
	matrix res;
	for(int i=1;i<=m;i++)res.a[i][i]=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)res=res*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	int ret=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)ret=(ret+res.a[i][i])%mod;
	return ret;
}
int qmi(int a,int b,int p)
{
	int res=1%p;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=1ll*res*a%p;
		a=1ll*a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	
    for(scanf("%d",&t);t;t--)
    {
    	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    	matrix ma;
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    		for(int j=1;j<=m;j++)ma.a[i][j]=1;
    	for(int i=1;i<=k;i++)
    	{
    		int a,b;
    		scanf("%d%d",&a,&b);
    		ma.a[a][b]=ma.a[b][a]=0;
    	}
    	int res=0;
    	for(int i=1;i<=n/i;i++)
    		if(n%i==0)
    		{
    			res=(res+1ll*ksm(ma,i)*phi(n/i)%mod)%mod;
    			if(i!=n/i)
    				res=(res+1ll*ksm(ma,n/i)*phi(i)%mod)%mod;
    		}
    	printf("%d\n",res*qmi(n,mod-2,mod)%mod);
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16800906.html
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