3133. 串珠子

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3133. 串珠子

给定 $M$ 种不同颜色的珠子，每种颜色的珠子的个数都足够多。

现在要从中挑选 $N$ 个珠子，串成一个环形手链。

请问一共可以制作出多少种不同的手链。

注意，如果两个手链经旋转或翻转后能够完全重合在一起，对应位置的珠子颜色完全相同，则视为同一种手链。

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组测试数据占一行，包含两个整数 $M,N$。

最后一行包含 0 0 表示输入结束。

输出格式

每组数据输出一个占一行的整数表示结果。

数据范围

$N,M > 0$,
$N \times M \le 32$

输入样例：

1 1
2 1
2 2
5 1
2 5
2 6
6 2
0 0

输出样例：

1
2
3
5
8
13
21

样例解释

当 $M=2,N=5$ 时，一共可以制作出 $8$ 种不同的手链，如下图。

解题思路

polya

burnside引理：设 $A$ 和 $B$ 为有限集合， $X$ 为一些从 $A$ 到 $B$ 的映射组成的集合。
$G$ 是 $A$ 上的置换群，且 $X$ 中的映射在 $G$ 中的置换作用下封闭。
$X / G$ 表示 $G$ 作用在 $X$ 上产生的所有等价类的集合
(若 $X$ 中的两个映射经过 $G$ 中的置换作用后相等，则它们在同一等价类中)，则

$$|X / G|=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G}\left|X^g\right|$$

其中 $|S|$ 表示集合 $S$ 中元素的个数，且

$$X^g=\{x \mid x \in X, g(x)=x\}$$

burnside引理的直观理解：每种置换的不动点个数的平均值，即本质不同的方案数
polya定理：在与 Burnside 引理相同的前置条件下，若 $X$ 为 所有从 $A$ 到 $B$ 的映射，内容修改为

$$|X / G|=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G}|B|^{c(g)}$$

其中 $c(g)$ 表示置换 $g$ 能拆分成的不相交的循环置换的数量
polya定理即求每种置换的不动点个数，但是必须保证其拆分的循环置换不相交

本题有两种置换：旋转和翻转
对于旋转来说，方向没有影响，假设都顺时针旋转，对于每个点来说旋转可以每次旋转 $0,1,2,\dots,n-1$ 次，每次旋转 $k$，设旋转 $t$ 次后 $i$ 回到原位置，即 $i+k\times t\equiv i(\bmod n)$，解得 $t=n/gcd(k,n)$，即每个轨迹的点数，对于 $i+1$ 这个点来说每次旋转 $k$ 次，跟 $i$ 这个点的轨迹不会相交，且轨迹上的点数和 $i$ 相等，即所有不相交的轨迹点数相等，总共有 $n/t=gcd(k,n)$ 条不相交的轨迹
对于翻转来说，如果 $n$ 为奇数，讨论其对称轴，共有 $n$ 个对称轴，即 $n$ 个置换群，考虑经过轴上的那个点，每个置换群共有 $\frac{n+1}{2}$ 个循环置换；如果 $n$ 为偶数，对称轴细分为是否经过点，对于经过点的对称轴，其共有 $\frac{n}{2}$ 个置换群，每个置换群有 $2+\frac{n-2}{2}=\frac{n}{2}+1$ 个循环置换，对于不经过点的对称轴，其也有 $\frac{n}{2}$ 个置换群。每个置换群有 $\frac{n}{2}$ 个循环置换
故总的方案数为

$$\left\{\begin{matrix} &\frac{\sum_{i=0}^{n-1}m^{gcd(i,n)}+n\times m^{\frac{n+1}{2}}}{n+n} &，n 为奇数 \\ &\frac{\sum_{i=0}^{n-1}m^{gcd(i,n)}+\frac{n}{2} \times m^{\frac{n}{2}+1}+\frac{n}{2}\times m^{\frac{n}{2}}}{n+\frac{n}{2}+\frac{n}{2}} & ，n 为偶数 \end{matrix}\right.$$

• 时间复杂度：$O(logn)$

代码

// Problem: 串珠子
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/3136/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>

//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;

template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }

template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

int m,n;
int ksm(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    while(cin>>m>>n,m||n)
    {
        int res=0;
        for(int i=0;i<n;i++)res+=ksm(m,__gcd(i,n));
        if(n&1)
            res+=n*ksm(m,n+1>>1);
        else
            res+=n/2*ksm(m,n/2+1)+n/2*ksm(m,n/2);
        cout<<res/(2*n)<<'\n';
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16798809.html
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