3132. 食物

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3132. 食物

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！

我们暂且不讨论他有多么睿智，他又幻想了他应该带一些什么东西。

理所当然的，你当然要帮他计算携带 $N$ 件物品的方案数。

他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等

当然，他又有一些稀奇古怪的限制，每种食物的限制如下：

• 承德汉堡：偶数个。
• 可乐：$0$ 个或 $1$ 个。
• 鸡腿：$0$ 个，$1$ 个或 $2$ 个。
• 蜜桃多：奇数个。
• 鸡块：$4$ 的倍数个。
• 包子：$0$ 个，$1$ 个，$2$ 个或 $3$ 个。
• 土豆片炒肉：不超过一个。
• 面包：$3$ 的倍数个。

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是 $N$ 就算一种方案。

因此，对于给出的 $N$，你需要计算出方案数，并对 $10007$ 取模。

输入格式

一个整数 $N$。

输出格式

一个整数，表示方案数对 $10007$ 取模后的结果。

数据范围

$1 \le N \le 10^{500}$

输入样例1：

1

输出样例1：

1

输入样例2：

5

输出样例2：

35

解题思路

生成函数

生成函数是一些子函数的乘积，其中各子函数之间没有关系，主要用来解决求解各子函数组合的方案数问题

例如本问题中以子函数承德汉堡为例：其函数可表示为 $f1(x)=1+x^2+x^4+\dots =\frac{1}{1-x^2}$，中 $x^i$ 的系数表示用承德汉堡做 $i$ 个的方案数，同理，其他子函数如下：

$$f2(x)=1+x=\frac{1-x^2}{1-x}\\\ f3(x)=1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}\\\ f4(x)=x+x^3+x^5\dots =\frac{x}{1-x^2}\\\ f5(x)=1+x^4+x^8+\dots =\frac{1}{1-x^4}\\\ f6(x)=1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}\\\ f7(x)=1+x=\frac{1-x^2}{1-x}\\\ f8(x)=1+x^3+x^6+\dots =\frac{1}{1-x^3}$$

其生成函数为 $f(x)=f1(x)\times f2(x)\times f3(x)\times f4(x)\times f5(x)\times f6(x)\times f7(x)\times f8(x)=\frac{1}{1-x^2}\times \frac{1-x^2}{1-x} \times \frac{1-x^3}{1-x}\times \frac{x}{1-x^2}\times \frac{1}{1-x^4}\times \frac{1-x^4}{1-x}\times \frac{1-x^2}{1-x}\times \frac{1}{1-x^3}=\frac{x}{(1-x)^4}=x\times (\sum_{n=0}C_{n+4-1}^{4-1}\times x^n)=\sum_{n=0}C_{n+3}^{3}\times x^{n+1}$

故答案即为 $C_{n+2}^3=\frac{(n+2)\times (n+1)\times n}{6}$

• 时间复杂度：$O(1)$

代码

// Problem: 食物
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/3135/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=505,mod=10007;
int res;
char s[N];
int main()
{
    scanf("%s",s);
    for(int i=0;s[i];i++)
    	res=(res*10+s[i]-'0')%mod;
    printf("%d",(LL)(res+2)*(res+1)*res/6%mod);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16793887.html
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