393. 雇佣收银员

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393. 雇佣收银员

一家超市要每天 $24$ 小时营业，为了满足营业需求，需要雇佣一大批收银员。

已知不同时间段需要的收银员数量不同，为了能够雇佣尽可能少的人员，从而减少成本，这家超市的经理请你来帮忙出谋划策。

经理为你提供了一个各个时间段收银员最小需求数量的清单 $R(0),R(1),R(2),…,R(23)$。

$R(0)$ 表示午夜 $00:00$ 到凌晨 $01:00$ 的最小需求数量，$R(1)$ 表示凌晨 $01:00$ 到凌晨 $02:00$ 的最小需求数量，以此类推。

一共有 $N$ 个合格的申请人申请岗位，第 $i$ 个申请人可以从 $t_i$ 时刻开始连续工作 $8$ 小时。

收银员之间不存在替换，一定会完整地工作 $8$ 小时，收银台的数量一定足够。

现在给定你收银员的需求清单，请你计算最少需要雇佣多少名收银员。

输入格式

第一行包含一个不超过 $20$ 的整数，表示测试数据的组数。

对于每组测试数据，第一行包含 $24$ 个整数，分别表示 $R(0),R(1),R(2),…,R(23)$。

第二行包含整数 $N$。

接下来 $N$ 行，每行包含一个整数 $t_i$。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

如果没有满足需求的安排，输出 No Solution。

数据范围

$0 \le R(0) \le 1000$,
$0 \le N \le 1000$,
$0 \le t_i \le 23$

输入样例：

1
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
5
0
23
22
1
10

输出样例：

1

解题思路

差分约束，二分

设 $a[i]$ 表示 $i$ 时刻申请的人数，$x[i]$ 表示选择的 $i$ 时刻的人数，则有 $0\leq x[i]\leq a[i]$，且对于限制 $r[i]$，即 $x[i]+x[i-1]+\dots +x[i-7]\geq r[i]$(这里 $i\geq7$)，考虑前缀和，则所有的 $i$ 右移一位，$i\geq 8$ 时，有 $s[i]-s[i-8]\geq r[i]$，而对于 $1\leq i\leq 7$，有 $s[i]+s[24]-s[16+i]\geq r[i]$，而这里有 $s[i],s[24],s[16+i]$ 三个变量，不符合差分约束形式，这里由于 $s[24]$ 不变，可以考虑固定 $s[24]$，同时由于人数越多越容易满足要求，即可二分 $s[24]$，求解最小值，据此 $spfa$ 求解最长路即可

• 时间复杂度：$O(24klogn)$

代码

// Problem: 雇佣收银员
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/395/
// Memory Limit: 10 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=25;
int r[N],n,a[N],d[N],cnt[N];
vector<PII> adj[N];
bool v[N];
void build(int c)
{
	for(int i=0;i<N;i++)adj[i].clear();
	adj[0].pb({24,c}),adj[24].pb({0,-c});
	for(int i=1;i<=7;i++)adj[16+i].pb({i,r[i]-c});
	for(int i=8;i<N;i++)adj[i-8].pb({i,r[i]});
	for(int i=1;i<N;i++)adj[i-1].pb({i,0}),adj[i].pb({i-1,-a[i]});
}
bool spfa(int c)
{
	build(c);
	memset(d,-0x3f,sizeof d);
	memset(cnt,0,sizeof cnt);
	memset(v,0,sizeof v);
	queue<int> q;
	q.push(0);
	v[0]=true;
	d[0]=0;
	while(q.size())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		v[x]=false;
		for(auto t:adj[x])
		{
			int y=t.fi,w=t.se;
			if(d[y]<d[x]+w)
			{
				d[y]=d[x]+w;
				cnt[y]=cnt[x]+1;
				if(cnt[y]>=N)return false;
				if(!v[y])v[y]=true,q.push(y);
			}
		}
	}
	return true;
}
int main()
{
    int t;
    for(cin>>t;t;t--)
    {
    	for(int i=1;i<N;i++)cin>>r[i],a[i]=0;
    	cin>>n;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		int t;
    		cin>>t;
    		a[t+1]++;
    	}
    	int l=0,r=n;
    	while(l<r)
    	{
    		int mid=l+r>>1;
    		if(spfa(mid))r=mid;
    		else
    			l=mid+1;
    	}
    	if(spfa(l))cout<<l<<'\n';
    	else
    		puts("No Solution");
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16581783.html
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