393. 雇佣收银员
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393. 雇佣收银员
一家超市要每天 \(24\) 小时营业，为了满足营业需求，需要雇佣一大批收银员。
已知不同时间段需要的收银员数量不同，为了能够雇佣尽可能少的人员，从而减少成本，这家超市的经理请你来帮忙出谋划策。
经理为你提供了一个各个时间段收银员最小需求数量的清单 \(R(0),R(1),R(2),…,R(23)\)。
\(R(0)\) 表示午夜 \(00:00\) 到凌晨 \(01:00\) 的最小需求数量，\(R(1)\) 表示凌晨 \(01:00\) 到凌晨 \(02:00\) 的最小需求数量，以此类推。
一共有 \(N\) 个合格的申请人申请岗位，第 \(i\) 个申请人可以从 \(t_i\) 时刻开始连续工作 \(8\) 小时。
收银员之间不存在替换，一定会完整地工作 \(8\) 小时，收银台的数量一定足够。
现在给定你收银员的需求清单，请你计算最少需要雇佣多少名收银员。
输入格式
第一行包含一个不超过 \(20\) 的整数，表示测试数据的组数。
对于每组测试数据，第一行包含 \(24\) 个整数，分别表示 \(R(0),R(1),R(2),…,R(23)\)。
第二行包含整数 \(N\)。
接下来 \(N\) 行，每行包含一个整数 \(t_i\)。
输出格式
每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
如果没有满足需求的安排，输出 No Solution。
数据范围
\(0 \le R(0) \le 1000\),
\(0 \le N \le 1000\),
\(0 \le t_i \le 23\)
输入样例：
1
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
5
0
23
22
1
10
输出样例：
1
解题思路
差分约束，二分
设 \(a[i]\) 表示 \(i\) 时刻申请的人数，\(x[i]\) 表示选择的 \(i\) 时刻的人数，则有 \(0\leq x[i]\leq a[i]\)，且对于限制 \(r[i]\)，即 \(x[i]+x[i-1]+\dots +x[i-7]\geq r[i]\)(这里 \(i\geq7\))，考虑前缀和，则所有的 \(i\) 右移一位，\(i\geq 8\) 时，有 \(s[i]-s[i-8]\geq r[i]\)，而对于 \(1\leq i\leq 7\)，有 \(s[i]+s[24]-s[16+i]\geq r[i]\)，而这里有 \(s[i],s[24],s[16+i]\) 三个变量，不符合差分约束形式，这里由于 \(s[24]\) 不变，可以考虑固定 \(s[24]\)，同时由于人数越多越容易满足要求，即可二分 \(s[24]\)，求解最小值，据此 \(spfa\) 求解最长路即可
- 时间复杂度：\(O(24klogn)\)
代码
// Problem: 雇佣收银员
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/395/
// Memory Limit: 10 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=25;
int r[N],n,a[N],d[N],cnt[N];
vector<PII> adj[N];
bool v[N];
void build(int c)
{
for(int i=0;i<N;i++)adj[i].clear();
adj[0].pb({24,c}),adj[24].pb({0,-c});
for(int i=1;i<=7;i++)adj[16+i].pb({i,r[i]-c});
for(int i=8;i<N;i++)adj[i-8].pb({i,r[i]});
for(int i=1;i<N;i++)adj[i-1].pb({i,0}),adj[i].pb({i-1,-a[i]});
}
bool spfa(int c)
{
build(c);
memset(d,-0x3f,sizeof d);
memset(cnt,0,sizeof cnt);
memset(v,0,sizeof v);
queue<int> q;
q.push(0);
v[0]=true;
d[0]=0;
while(q.size())
{
int x=q.front();
q.pop();
v[x]=false;
for(auto t:adj[x])
{
int y=t.fi,w=t.se;
if(d[y]<d[x]+w)
{
d[y]=d[x]+w;
cnt[y]=cnt[x]+1;
if(cnt[y]>=N)return false;
if(!v[y])v[y]=true,q.push(y);
}
}
}
return true;
}
int main()
{
int t;
for(cin>>t;t;t--)
{
for(int i=1;i<N;i++)cin>>r[i],a[i]=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int t;
cin>>t;
a[t+1]++;
}
int l=0,r=n;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(spfa(mid))r=mid;
else
l=mid+1;
}
if(spfa(l))cout<<l<<'\n';
else
puts("No Solution");
}
return 0;
}
