1169. 糖果

题目链接

1169. 糖果

幼儿园里有 $N$ 个小朋友，老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。

但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候， 老师需要满足小朋友们的 $K$ 个要求。

幼儿园的糖果总是有限的，老师想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

输入格式

输入的第一行是两个整数 $N,K$。

接下来 $K$ 行，表示分配糖果时需要满足的关系，每行 $3$ 个数字 $X,A,B$。

• 如果 $X = 1$．表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须和第 $B$ 个小朋友分到的糖果一样多。

• 如果 $X = 2$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须少于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。

• 如果 $X = 3$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须不少于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。

• 如果 $X = 4$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须多于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。

• 如果 $X = 5$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须不多于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。

小朋友编号从 $1$ 到 $N$。

输出格式

输出一行，表示老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出 $-1$。

数据范围

$1 \le N < 10^5$,
$1 \le K \le 10^5$,
$1 \le X \le 5$,
$1 \le A,B \le N$,
输入数据完全随机。

输入样例：

5 7
1 1 2
2 3 2
4 4 1
3 4 5
5 4 5
2 3 5
4 5 1

输出样例：

11

解题思路

差分约束

差分约束用来解决类似多个 $x_i\leq x_{i+1}+c_i$ 这样的不等式的可行解或最优解的问题，而 $x_i\leq x_{i+1}+c_i$ 正好对应求解最终最短路的形式，即求解最短路时，最终会有 $x_i\leq c_1+c_2\dots +c_k$ 的形式，即在所有的下界中取最小值，此时取得的 $x_i$ 为最大值，否则如果出现负环的话，即最终会循环到某个点，会产生矛盾，此时无解，同理，求解最长路对应求解每个 $x_i$ 的最小值，当出现正环时无解。另外，由于给出的关系可能都为相对关系，而求解的往往需要绝对关系，可以建立一个虚拟源点 $x_0$，即 $d[x_0]=0$，将该点添加到其他关系中连边

本题求解最小值，故求最长路，且要求所有 $x_i\geq 1$，即 $x_i\geq x_0+1$，将 $0$ 到 $1$ 之间连一条边权为 $1$ 的边即可，其他建边同理，最后求一遍 $spfa$ 即可

• 时间复杂度：$O(kn)$

代码

// Problem: 糖果
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1171/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int n,k,x;
int d[N],cnt[N];
int h[N],e[N*3],w[N*3],ne[N*3],idx;
bool v[N];
void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;	
}
bool spfa()
{
	stack<int> stk;
	stk.push(0);
	v[0]=true;
	memset(d,-0x3f,sizeof d);
	d[0]=0;
	while(stk.size())
	{
		int x=stk.top();
		stk.pop();
		v[x]=false;
		for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
		{
			int y=e[i],ww=w[i];
			if(d[y]<d[x]+ww)
			{
				d[y]=d[x]+ww;
				cnt[y]=cnt[x]+1;
				if(cnt[y]>=n+1)return false;
				if(!v[y])stk.push(y),v[y]=true;
			}
		}
	}
	return true;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    memset(h,-1,sizeof h);
	while(k--)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d%d",&x,&a,&b);
		if(x==1)add(a,b,0),add(b,a,0);
		else if(x==2)add(a,b,1);
		else if(x==3)add(b,a,0);
		else if(x==4)add(b,a,1);
		else
			add(a,b,0);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)add(0,i,1);
	if(!spfa())puts("-1");
	else
	{
		LL res=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)res+=d[i];
		printf("%lld",res);
	}
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16580349.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！