2171. EK求最大流
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2171. EK求最大流
给定一个包含 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。
图中可能存在重边和自环。求从点 \(S\) 到点 \(T\) 的最大流。
输入格式
第一行包含四个整数 \(n,m,S,T\)。
接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(u,v,c\)，表示从点 \(u\) 到点 \(v\) 存在一条有向边，容量为 \(c\)。
点的编号从 \(1\) 到 \(n\)。
输出格式
输出点 \(S\) 到点 \(T\) 的最大流。
如果从点 \(S\) 无法到达点 \(T\) 则输出 \(0\)。
数据范围
\(2 \le n \le 1000\),
\(1 \le m \le 10000\),
\(0 \le c \le 10000\),
\(S \neq T\)
输入样例：
7 14 1 7
1 2 5
1 3 6
1 4 5
2 3 2
2 5 3
3 2 2
3 4 3
3 5 3
3 6 7
4 6 5
5 6 1
6 5 1
5 7 8
6 7 7
输出样例：
14
解题思路
网络流、\(EK\) 算法求最大流
在流网络中不考虑反向边，对于一个可行流（从源点流出的流量-流入源点的流量）来说，其必须满足两个条件：容量限制、流量守恒
在残留网络中考虑反向边，其是针对某一个可行流定义的，设 \(c\) 为原图中某条边的容量，流量为 \(f\)，其正向边的容量为 \(c-f\)，反向边容量为 \(f\)，对于流网络的一个可行流 \(f\)，对应的残留网络的一个可行流 \(f'\)（可能为负数），\(f+f'\) 是原流网络的另一个可行流
在残留网络中如果存在一条增广路径(即存在一条权值大于 \(0\) 的可行流)的话，则对应的原流网络的可行流一定不是最大流（最大可行流）
割的定义：将流网络中的所有节点分为两部分，一部分包含源点 \(s\) 的集合 \(S\)，另一部分包含汇点 \(t\) 的集合 \(T\)，且 \(S\bigcup T=V,S\bigcap T=\varnothing\)，可以知道割有 \(2^{\left | V \right |-2}\) 中，割的容量(最小割即最小容量) \(c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)\)，割的流量 \(f(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in T,v\in S}f(u,v)\)，易得 \(f(S,T)\leq c(S,T)\)，而且可以证明 \(f(S,T)\) 可以对应流网络中的一个可行流
证明：很容易得到以下性质：
前提：\(X\bigcap Y=\varnothing\)
- \(f(X,Y)=-f(Y,X)\)
- \(f(X,X)=0\)
- \(f(Z,X\bigcup Y)=f(Z,X)+f(Z,Y)\)
- \(f(X\bigcup Y,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)\)
借此，得到下面等式：
得证
即有 \(\left | f \right |=f(S,T)\leq c(S,T)\)，即有 \(最大流\leq 最小割\)
最大流最小割定理
-
可行流 \(f\) 是最大流
-
可行流 \(f\) 的残留网络中不存在增广路
-
存在某个割 \([S, T]，|f| = c(S, T)\)
证明：
\(1\rightarrow 2\)
反证法：假设如果 \(f\) 是最大流，但 \(f\) 的残留网络中存在增广路，即残留网络中存在一个可行流 \(\left | f' \right |>0\)，则由性质，\(f+f'\) 也是原流网络的一个可行流，且该权值比最大流还大，矛盾，故 \(1\rightarrow 2\)
\(3\rightarrow 1\)
有 \(|f| = c(S, T)\)，则 \(最大流\leq c(S,T)=|f|\)，则 \(f=最大流\)
\(2\rightarrow 3\)
构造：令 \(S=在残留网络中，从 s 出发沿容量大于 0 的边走所遍历到的点且不含 t\)，\(T=V-S\)，则有 \(u\in S,v\in T,f(u,v)=c(u,v)\)，假设 \(f(u,v)<c(u,v)\)，则在残留网路中一定会有 \(u\) 连向 \(v\) 且权值为正的容量，则 \(v\) 应该也属于 \(S\)，矛盾，即 \(u\in S,v\in T,f(u,v)=c(u,v)\)，同理， \(u\in T,v\in S,f(u,v)=0\)，则 \(|f|=f(S,T)=c(S,T)\)
上面三个条件知一可得其二，且由 \(3\) 可以得到一个结论：\(最大流=最小割\)
\(EK\) 算法正是利用第二个条件得第一个条件，利用 \(bfs\) 不断得到一条增广路径，将最小的残余流量加入到最大流中，同时更新该增广路径，再次判断是否存在增广路径直到没有为止
由于网络流的复杂度上界都比较松，\(EK\) 算法一般用来处理 \(10^3\sim 10^4\) 的网络模型
- 时间复杂度：\(O(nm^2)\)
代码
// Problem: EK求最大流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2173/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1005,M=20005,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t;
int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx,res;
int q[N],tt,hh,d[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{
memset(st,0,sizeof st);
d[s]=inf;
q[0]=s;
st[s]=true;
tt=hh=0;
while(hh<=tt)
{
int x=q[hh++];
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(!st[y]&&f[i])
{
st[y]=true;
d[y]=min(d[x],f[i]);
pre[y]=i;
if(y==t)return true;
q[++tt]=y;
}
}
}
return false;
}
int ek()
{
while(bfs())
{
res+=d[t];
for(int i=t;i!=s;i=e[pre[i]^1])
f[pre[i]]-=d[t],f[pre[i]^1]+=d[t];
}
return res;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,c;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
add(u,v,c);
}
printf("%d",ek());
return 0;
}
