2171. EK求最大流

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2171. EK求最大流

给定一个包含 n 个点 m 条边的有向图,并给定每条边的容量,边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 S 到点 T 的最大流。

输入格式

第一行包含四个整数 n,m,S,T

接下来 m 行,每行三个整数 u,v,c,表示从点 u 到点 v 存在一条有向边,容量为 c

点的编号从 1n

输出格式

输出点 S 到点 T 的最大流。

如果从点 S 无法到达点 T 则输出 0

数据范围

2n1000,
1m10000,
0c10000,
ST

输入样例:

7 14 1 7 1 2 5 1 3 6 1 4 5 2 3 2 2 5 3 3 2 2 3 4 3 3 5 3 3 6 7 4 6 5 5 6 1 6 5 1 5 7 8 6 7 7

输出样例:

14

解题思路

网络流、EK 算法求最大流

在流网络中不考虑反向边,对于一个可行流(从源点流出的流量-流入源点的流量)来说,其必须满足两个条件:容量限制、流量守恒
在残留网络中考虑反向边,其是针对某一个可行流定义的,设 c 为原图中某条边的容量,流量为 f,其正向边的容量为 cf,反向边容量为 f,对于流网络的一个可行流 f,对应的残留网络的一个可行流 f(可能为负数),f+f 是原流网络的另一个可行流
在残留网络中如果存在一条增广路径(即存在一条权值大于 0 的可行流)的话,则对应的原流网络的可行流一定不是最大流(最大可行流)
割的定义:将流网络中的所有节点分为两部分,一部分包含源点 s 的集合 S,另一部分包含汇点 t 的集合 T,且 ST=V,ST=,可以知道割有 2|V|2 中,割的容量(最小割即最小容量) c(S,T)=uS,vTc(u,v),割的流量 f(S,T)=uS,vTf(u,v)uT,vSf(u,v),易得 f(S,T)c(S,T),而且可以证明 f(S,T) 可以对应流网络中的一个可行流
证明:很容易得到以下性质:
前提:XY=

  1. f(X,Y)=f(Y,X)
  2. f(X,X)=0
  3. f(Z,XY)=f(Z,X)+f(Z,Y)
  4. f(XY,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)

借此,得到下面等式:

f(S,T)=f(S,V)f(S,S) =f(S,V) =f(s,V)+f(Ss,V) =f(s,V)=|f|

得证
即有 |f|=f(S,T)c(S,T),即有

最大流最小割定理

  1. 可行流 f 是最大流

  2. 可行流 f 的残留网络中不存在增广路

  3. 存在某个割 [S,T]|f|=c(S,T)

证明:
12
反证法:假设如果 f 是最大流,但 f 的残留网络中存在增广路,即残留网络中存在一个可行流 |f|>0,则由性质,f+f 也是原流网络的一个可行流,且该权值比最大流还大,矛盾,故 12
31
|f|=c(S,T),则 c(S,T)=|f|,则 f=
23
构造:令 S=s沿0tT=VS,则有 uS,vT,f(u,v)=c(u,v),假设 f(u,v)<c(u,v),则在残留网路中一定会有 u 连向 v 且权值为正的容量,则 v 应该也属于 S,矛盾,即 uS,vT,f(u,v)=c(u,v),同理, uT,vS,f(u,v)=0,则 |f|=f(S,T)=c(S,T)

上面三个条件知一可得其二,且由 3 可以得到一个结论:=

EK 算法正是利用第二个条件得第一个条件,利用 bfs 不断得到一条增广路径,将最小的残余流量加入到最大流中,同时更新该增广路径,再次判断是否存在增广路径直到没有为止

由于网络流的复杂度上界都比较松,EK 算法一般用来处理 103104 的网络模型

  • 时间复杂度:O(nm2)

代码

// Problem: EK求最大流 // Contest: AcWing // URL: https://www.acwing.com/problem/content/2173/ // Memory Limit: 64 MB // Time Limit: 1000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org) // %%%Skyqwq #include <bits/stdc++.h> //#define int long long #define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);} #define pb push_back #define fi first #define se second #define mkp make_pair using namespace std; typedef long long LL; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<LL, LL> PLL; template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; } template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; } template <typename T> void inline read(T &x) { int f = 1; x = 0; char s = getchar(); while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); } while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar(); x *= f; } const int N=1005,M=20005,inf=0x3f3f3f3f; int n,m,s,t; int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx,res; int q[N],tt,hh,d[N],pre[N]; bool st[N]; void add(int a,int b,int c) { e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++; } bool bfs() { memset(st,0,sizeof st); d[s]=inf; q[0]=s; st[s]=true; tt=hh=0; while(hh<=tt) { int x=q[hh++]; for(int i=h[x];~i;i=ne[i]) { int y=e[i]; if(!st[y]&&f[i]) { st[y]=true; d[y]=min(d[x],f[i]); pre[y]=i; if(y==t)return true; q[++tt]=y; } } } return false; } int ek() { while(bfs()) { res+=d[t]; for(int i=t;i!=s;i=e[pre[i]^1]) f[pre[i]]-=d[t],f[pre[i]^1]+=d[t]; } return res; } int main() { memset(h,-1,sizeof h); scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t); for(int i=1;i<=m;i++) { int u,v,c; scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); add(u,v,c); } printf("%d",ek()); return 0; }

__EOF__

本文作者acwing_zyy
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posted @   zyy2001  阅读(54)  评论(0编辑  收藏  举报
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