题目链接
给定一个包含 n 个点 m 条边的有向图,并给定每条边的容量,边的容量非负。
图中可能存在重边和自环。求从点 S 到点 T 的最大流。
输入格式
第一行包含四个整数 n,m,S,T。
接下来 m 行,每行三个整数 u,v,c,表示从点 u 到点 v 存在一条有向边,容量为 c。
点的编号从 1 到 n。
输出格式
输出点 S 到点 T 的最大流。
如果从点 S 无法到达点 T 则输出 0。
数据范围
2≤n≤1000,
1≤m≤10000,
0≤c≤10000,
S≠T
输入样例:
输出样例:
解题思路
网络流、EK 算法求最大流
在流网络中不考虑反向边,对于一个可行流(从源点流出的流量-流入源点的流量)来说,其必须满足两个条件:容量限制、流量守恒
在残留网络中考虑反向边,其是针对某一个可行流定义的,设 c 为原图中某条边的容量,流量为 f,其正向边的容量为 c−f,反向边容量为 f,对于流网络的一个可行流 f,对应的残留网络的一个可行流 f′(可能为负数),f+f′ 是原流网络的另一个可行流
在残留网络中如果存在一条增广路径(即存在一条权值大于 0 的可行流)的话,则对应的原流网络的可行流一定不是最大流(最大可行流)
割的定义:将流网络中的所有节点分为两部分,一部分包含源点 s 的集合 S,另一部分包含汇点 t 的集合 T,且 S⋃T=V,S⋂T=∅,可以知道割有 2|V|−2 中,割的容量(最小割即最小容量) c(S,T)=∑u∈S,v∈Tc(u,v),割的流量 f(S,T)=∑u∈S,v∈Tf(u,v)−∑u∈T,v∈Sf(u,v),易得 f(S,T)≤c(S,T),而且可以证明 f(S,T) 可以对应流网络中的一个可行流
证明:很容易得到以下性质:
前提:X⋂Y=∅
- f(X,Y)=−f(Y,X)
- f(X,X)=0
- f(Z,X⋃Y)=f(Z,X)+f(Z,Y)
- f(X⋃Y,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)
借此,得到下面等式:
f(S,T)=f(S,V)−f(S,S) =f(S,V) =f(s,V)+f(S−s,V) =f(s,V)=|f|
得证
即有 |f|=f(S,T)≤c(S,T),即有 最大流≤最小割
最大流最小割定理
-
可行流 f 是最大流
-
可行流 f 的残留网络中不存在增广路
-
存在某个割 [S,T],|f|=c(S,T)
证明:
1→2
反证法:假设如果 f 是最大流,但 f 的残留网络中存在增广路,即残留网络中存在一个可行流 |f′|>0,则由性质,f+f′ 也是原流网络的一个可行流,且该权值比最大流还大,矛盾,故 1→2
3→1
有 |f|=c(S,T),则 最大流≤c(S,T)=|f|,则 f=最大流
2→3
构造:令 S=在残留网络中,从s出发沿容量大于0的边走所遍历到的点且不含t,T=V−S,则有 u∈S,v∈T,f(u,v)=c(u,v),假设 f(u,v)<c(u,v),则在残留网路中一定会有 u 连向 v 且权值为正的容量,则 v 应该也属于 S,矛盾,即 u∈S,v∈T,f(u,v)=c(u,v),同理, u∈T,v∈S,f(u,v)=0,则 |f|=f(S,T)=c(S,T)
上面三个条件知一可得其二,且由 3 可以得到一个结论:最大流=最小割
EK 算法正是利用第二个条件得第一个条件,利用 bfs 不断得到一条增广路径,将最小的残余流量加入到最大流中,同时更新该增广路径,再次判断是否存在增广路径直到没有为止
由于网络流的复杂度上界都比较松,EK 算法一般用来处理 103∼104 的网络模型
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1005,M=20005,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t;
int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx,res;
int q[N],tt,hh,d[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{
memset(st,0,sizeof st);
d[s]=inf;
q[0]=s;
st[s]=true;
tt=hh=0;
while(hh<=tt)
{
int x=q[hh++];
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(!st[y]&&f[i])
{
st[y]=true;
d[y]=min(d[x],f[i]);
pre[y]=i;
if(y==t)return true;
q[++tt]=y;
}
}
}
return false;
}
int ek()
{
while(bfs())
{
res+=d[t];
for(int i=t;i!=s;i=e[pre[i]^1])
f[pre[i]]-=d[t],f[pre[i]^1]+=d[t];
}
return res;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,c;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
add(u,v,c);
}
printf("%d",ek());
return 0;
}
__EOF__
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 阿里最新开源QwQ-32B,效果媲美deepseek-r1满血版,部署成本又又又降低了!
· 单线程的Redis速度为什么快?
· SQL Server 2025 AI相关能力初探
· AI编程工具终极对决:字节Trae VS Cursor,谁才是开发者新宠?
· 展开说说关于C#中ORM框架的用法!