228. 异或

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228. 异或

两个非负整数的 $XOR$ 是指将它们表示成二进制数，再在对应的二进制位进行 $XOR$ 运算。

现在，定义 $K$ 个非负整数 $A_1,A_2,…,A_K$ 的 $XOR$ 和为：

$A_1\ XOR\ A_2\ XOR\ …\ XOR\ A_K$

考虑一个边权为非负整数的无向连通图，节点编号 $1$ 到 $N$，试求出一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径，使路径上经过的边的权值的 $XOR$ 和最大。

路径可以重复经过某些点或边，当一条边在路径中出现了多次时，其权值在计算 $XOR$ 和时也要被计算相应多的次数。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$，表示该无向图中点的数目与边的数目。

接下来 $M$ 行描述 $M$ 条边，每行三个整数 $S_i，T_i ，D_i$，表示 $S_i$ 与 $T_i$ 之间存在一条权值为 $D_i$ 的无向边。

图中可能有重边或自环。

输出格式

仅包含一个整数，表示最大的 $XOR$ 和（十进制结果），注意输出后加换行回车。

数据范围

$N \le 50000 , M \le 100000, D_i \le 10^{18}$

输入样例：

5 7 
1 2 2 
1 3 2 
2 4 1 
2 5 1 
4 5 3 
5 3 4 
4 3 2 

输出样例：

6

解题思路

线性基

由于使用环即将方向换为另外一个方向，故任意一条 $1$ 到 $n$ 的路径都可以由一条 $1$ 到 $n$ 的路径加上若干个环表示出来，所以问题转化为任取一条 $1$ 到 $n$ 的路径，然后取若干个环使异或和最大，故可先固定一条 $1$ 到 $n$ 的路径表示的异或和，然后选取若干个环，可用线性基表示环的异或空间，最后逆序贪心选取线性基元素即可

• 时间复杂度：$O(63m+n)$

代码

// Problem: 异或
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/230/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=50005;
int n,m;
LL d[N],a[65];
bool v[N];
vector<pair<int,LL>> adj[N];
void insert(LL x)
{
	for(int i=62;i>=0;i--)
		if(x>>i&1)
		{
			if(!a[i])
			{
				a[i]=x;
				break;
			}
			else
				x^=a[i];
		}
}
void dfs(int x)
{
	v[x]=true;
	for(auto t:adj[x])
	{
		int y=t.fi;
		LL w=t.se;
		if(!v[y])d[y]=d[x]^w,dfs(y);
		else
			insert(d[y]^w^d[x]);
	}
}
int main()
{
    help;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int x,y;
    	LL z;
    	cin>>x>>y>>z;
    	adj[x].pb({y,z}),adj[y].pb({x,z});
    }
    dfs(1);
    LL res=d[n];
    for(int i=62;i>=0;i--)res=max(res,res^a[i]);
    cout<<res;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16533319.html
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