210. 异或运算

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210. 异或运算

给定你由 $N$ 个整数构成的整数序列，你可以从中选取一些（至少一个）进行异或（$\operatorname{xor}$）运算，从而得到很多不同的结果。

请问，所有能得到的不同的结果中第 $k$ 小的结果是多少。

输入格式

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

对于每组测试数据，第一行包含整数 $N$。

第二行包含 $N$ 个整数(均在 $1$ 至 $10^{18}$ 之间)，表示完整的整数序列。

第三行包含整数 $Q$，表示询问的次数。

第四行包含 $Q$ 个整数 $k_1,k_2,…,k_Q$，表示 $Q$ 个询问对应的 $k$。

输出格式

对于每组测试数据，第一行输出 Case #C:，其中 $C$ 为顺序编号（从 $1$ 开始）。

接下来 $Q$ 行描述 $Q$ 次询问的结果，每行输出一个整数，表示第 $i$ 次询问中第 $k_i$ 小的结果。

如果能得到的不同结果的总数少于 $k_i$，则输出 $-1$。

数据范围

$1 \le N,Q \le 10000$,
$1 \le k\_i \le 10^{18}$

输入样例：

2
2
1 2
4
1 2 3 4
3
1 2 3
5
1 2 3 4 5

输出样例：

Case #1:
1
2
3
-1
Case #2:
0
1
2
3
-1

注意:只选取一个数字进行运算，则结果为该数字本身。

解题思路

线性基

由于线性基表示的空间和原向量组表示的空间等价，所以可以先求出线性基，用线性基来表示第 $k$ 小数，由于线性基中每一个最高位的元素仅有一个，可以将每一个线性基元素当作一位，求第 $k$ 小数即将 $k$ 的二进制数表示出来相应乘以线性基元素，另外由于线性基不能表示 $0$，所以需要判断原向量组是否线性相关或无关，如果向量组的秩 $k<n$，则线性相关，即可以表示出 $0$，否则不能

• 时间复杂度：$O(63n)$

代码

// Problem: 异或运算
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/212/
// Memory Limit: 32 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=10005;
int t,n,k,q;
LL x,a[N];
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    for(int T=1;T<=t;T++)
    {
    	printf("Case #%d:\n",T);
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    	k=0;
    	for(int i=62;i>=0;i--)
    	{
    		for(int j=k;j<n;j++)
    			if(a[j]>>i&1)
    			{
    				swap(a[k],a[j]);
    				break;
    			}
    		if(!(a[k]>>i&1))continue;
    		for(int j=0;j<n;j++)
    			if(j!=k&&(a[j]>>i&1))a[j]^=a[k];
    		k++;
    		if(k==n)break;
    	}
    	reverse(a,a+k);
    	bool f=k<n;
    	scanf("%d",&q);
    	while(q--)
    	{
    		scanf("%lld",&x);
    		x-=f;
    		if(x>=(1ll<<k))
    		{
    			puts("-1");
    			continue;
    		}
    		LL res=0;
			for(int i=0;i<k;i++)
				if(x>>i&1)res^=a[i];
    		printf("%lld\n",res);
    	}
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16531957.html
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