3164. 线性基

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3164. 线性基

给定 $n$ 个整数（可能重复），现在需要从中挑选任意个整数，使得选出整数的异或和最大。

请问，这个异或和的最大可能值是多少。

输入格式

第一行一个整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数。

输出格式

输出一个整数，表示所选整数的异或和的最大可能值。

数据范围

$1 \le n \le 10^5$,
$0 \le S_i \le 2^{63}-1$

输入样例：

3
5 2 8

输出样例：

15

解题思路

线性基

线性基：是向量空间的一组基，通常用来解决异或问题。
即对于一组向量组来说，其线性空间和线性基表示的线性空间等价，当然里面包括了最小/大值等，对于异或线性基，其有如下性质：

• 线性基没有异或和为 $0$ 的子集

• 每个存在的最高位只有一个元素

• 每个元素的异或方案唯一

• 线性基是线性无关的，即里面的任意元素不能由除本身外的其他元素表示

线性基即极大线性无关组，其维度即向量组的秩，其可用高斯消元求解，一般有两种写法：普通的高斯消元和一个一个插入，其中一个一个插入的形成的线性基不是真正的线性基，例如 $a[i]$ 表示第 $i$ 位为 $1$ 的线性基，其后面表示的元素第 $i$ 位都为 $0$，而其前面更高位的 $j$ 表示的 $a[j]$ 的 $i$ 位可能为 $1$，高斯消元得到的 $i$ 位前后当且仅当只有一个线性基元素才为 $1$

本题要求从中选取的任意异或和最大，先找出线性基，由于线性基里的元素表示的空间和原向量组表示的空间等价，其包含异或和的最大值，而线性基每个元素的最高位唯一，线性基里的所有元素的异或和即为答案
另外求异或和最小值即线性基的里的最小元素，为什么？线性基的元素最高位都是唯一的，最小的元素异或其他元素只会使结果变大。查询一个数是否可以用线性基异或表示，可采用一个一个插入的写法，模仿插入的过程，如果最后插入的数 $x=0$ 说明可以表示出来

• 时间复杂度：$(63n)$

代码

• 写法一

// Problem: 线性基
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3167/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int n,k;
LL a[N],res;
int main()
{
    help;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=62;i>=0;i--)
    {
    	for(int j=k;j<n;j++)
    		if(a[j]>>i&1)
    		{
    			swap(a[j],a[k]);
    			break;
    		}
    	if(!(a[k]>>i&1))continue;
    	for(int j=0;j<n;j++)
    		if(j!=k&&(a[j]>>i&1))a[j]^=a[k];
    	k++;
    }
    for(int i=0;i<k;i++)res^=a[i];
    cout<<res;
    return 0;
}

• 写法二

// Problem: 线性基
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3167/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int n;
LL a[65],res,x;
void insert(LL x)
{
	for(int i=62;i>=0;i--)
		if(x>>i&1)
		{
			if(!a[i])
			{
				a[i]=x;
				break;
			}
			else
				x^=a[i];
		}
}
int main()
{
    help;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>x,insert(x);
    for(int i=62;i>=0;i--)
        if(!(res>>i&1))res^=a[i];
    cout<<res;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16531862.html
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