2514. 消耗战

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2514. 消耗战

[SDOI2011] 消耗战

题目描述

在一场战争中，战场由 $n$ 个岛屿和 $n-1$ 个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为 $1$ 的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他 $k$ 个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到 $1$ 号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用 $m$ 次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

输入格式

第一行一个整数 $n$，表示岛屿数量。

接下来 $n-1$ 行，每行三个整数 $u,v,w$ ，表示 $u$ 号岛屿和 $v$ 号岛屿由一条代价为 $w$ 的桥梁直接相连。

第 $n+1$ 行，一个整数 $m$ ，代表敌方机器能使用的次数。

接下来 $m$ 行，第 $i$ 行一个整数 $k_i$ ，代表第 $i$ 次后，有 $k_i$ 个岛屿资源丰富。接下来 $k_i$ 个整数 $h_1,h_2,..., h_{k_i}$ ，表示资源丰富岛屿的编号。

输出格式

输出共 $m$ 行，表示每次任务的最小代价。

样例 #1

样例输入 #1

10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

样例输出 #1

12
32
22

提示

数据规模与约定

• 对于 $10\%$ 的数据，$n\leq 10, m\leq 5$ 。
• 对于 $20\%$ 的数据，$n\leq 100, m\leq 100, 1\leq k_i\leq 10$ 。
• 对于 $40\%$ 的数据，$n\leq 1000, 1\leq k_i\leq 15$ 。
• 对于 $100\%$ 的数据，$2\leq n \leq 2.5\times 10^5, 1\leq m\leq 5\times 10^5, \sum k_i \leq 5\times 10^5, 1\leq k_i< n, h_i\neq 1, 1\leq u,v\leq n, 1\leq w\leq 10^5$ 。

解题思路

虚树

考虑一般情况：

• 状态表示：$f[i]$ 表示将 $i$ 为根节点的子树的所有查询点到 $i$ 不连通的最少代价

• 状态计算：$j$ 为 $i$ 的儿子节点，$w$ 为 $i$ 到 $j$ 的最少代价

• • $j$ 是查询节点，$f[i]+=w$
• • $j$ 不是查询节点，$f[i]+=min(w,f[j])$

对于每次查询建立相应的虚树即可

• 时间复杂度：$O(nlogn)$

代码

// Problem: 消耗战
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2516/
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=2.5e5+5;
int n,m,k,a[N],f[N][20],mn[N][20],dep[N],dfn[N],cnt,t,dis;
LL dp[N];
int stk[N],top;
vector<PII> adj[N];
bool v[N];
void dfs(int x,int fa)
{
	dfn[x]=++cnt;
	f[x][0]=fa;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1],mn[x][i]=min(mn[x][i-1],mn[f[x][i-1]][i-1]);
	for(auto &t:adj[x])
	{
		int y=t.fi,w=t.se;
		if(y==fa)continue;
		dep[y]=dep[x]+1;
		mn[y][0]=w;
		dfs(y,x);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	dis=1e9;
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	for(int i=t;i>=0;i--)
		if(dep[f[y][i]]>=dep[x])
		{
			dis=min(dis,mn[y][i]);
			y=f[y][i];
		}
	if(x==y)return x;
	for(int i=t;i>=0;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i])
		{
			x=f[x][i],y=f[y][i];
			dis=min({dis,mn[x][i],mn[y][i]});
		}
	return f[x][0];
}
bool cmp(int &x,int &y)
{
	return dfn[x]<dfn[y];
}
void build()
{
	sort(a+1,a+1+k,cmp);
	stk[top=1]=1,adj[1].clear();
	for(int i=1;i<=k;i++)
		if(a[i]!=1)
		{
			int l=lca(a[i],stk[top]);
			if(l!=stk[top])
			{
				while(dfn[l]<dfn[stk[top-1]])
				{
					int u=stk[top-1],v=stk[top];
					lca(u,v);
					adj[u].pb({v,dis});
					top--;
				}
				if(dfn[l]>dfn[stk[top-1]])
				{
					adj[l].clear();
					lca(l,stk[top]);
					adj[l].pb({stk[top],dis});
					stk[top]=l;
				}
				else
				{
					lca(l,stk[top]);
					adj[l].pb({stk[top--],dis});
				}
			}
			adj[a[i]].clear(),stk[++top]=a[i];
		}
	for(int i=1;i<top;i++)
	{
		int u=stk[i],v=stk[i+1];
		lca(u,v);
		adj[u].pb({v,dis});
	}	
}
void dfs(int x)
{
	dp[x]=0;
	for(auto &t:adj[x])
	{
		int y=t.fi,w=t.se;
		dfs(y);
		if(v[y])dp[x]+=w,v[y]=false;
		else
			dp[x]+=min(1ll*w,dp[y]);
	}
}
int main()
{
    help;
    cin>>n;
    t=__lg(n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
    	int u,v,w;
    	cin>>u>>v>>w;
    	adj[u].pb({v,w}),adj[v].pb({u,w});
    }
    dep[1]=1;
    dfs(1,0);
    cin>>m;
    while(m--)
    {
    	cin>>k;
    	for(int i=1;i<=k;i++)cin>>a[i],v[a[i]]=true;
    	build();
    	dfs(1);
    	cout<<dp[1]<<'\n';
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16528029.html
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