3123. 高精度乘法II

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3123. 高精度乘法II

给定两个正整数 \(A\) 和 \(B\)，请你计算 \(A \times B\) 的值。

输入格式

共两行，第一行包含整数 \(A\)，第二行包含整数 \(B\)。

输出格式

共一行，包含 \(A \times B\) 的值。

数据范围

\(1 \le A与B的长度 \le 10^5\)。

输入样例：

2
3

输出样例：

6

解题思路

fft

设 \(A\) 由低位到高位的值分别为 \(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}\)，构造一个 \(n-1\) 次多项式 \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots +a_{n-1}x^{n-1}\)，同理由 \(B\) 构造的多项式 \(g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\dots +b_{m-1}x^{m-1}\)，而 \(A=f(10),B=g(10)\)，要求 \(A\times B=f(10)\times g(10)\)，而 \(fft\) 可求得 \(h(x)=f(x)\times g(x)\)，最后即求 \(h(10)\)。注意求解的 \(h(x)\) 的系数并不是最后的答案，其系数也可能不是一位数

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码

// Problem: 高精度乘法II
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3126/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=3e5+5;
const double pi=acos(-1);
int n,m,bit,tot,rev[N],res[N];
char A[N],B[N];
struct cp
{
	double x,y;
	cp operator+(const cp &o)const
	{
		return {x+o.x,y+o.y};
	}
	cp operator-(const cp &o)const
	{
		return {x-o.x,y-o.y};
	}
	cp operator*(const cp &o)const
	{
		return {x*o.x-y*o.y,x*o.y+y*o.x};
	}
}a[N],b[N];
void fft(cp a[],int inv)
{
	for(int i=0;i<tot;i++)
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int mid=1;mid<tot;mid<<=1)
	{
		cp w1={cos(pi/mid),inv*sin(pi/mid)};
		for(int i=0;i<tot;i+=mid<<1)
		{
			cp wk={1,0};
			for(int j=0;j<mid;j++,wk=wk*w1)
			{
				cp x=a[i+j],y=a[i+j+mid];
				a[i+j]=x+wk*y,a[i+j+mid]=x-wk*y;
			}
		}
	}
}
int main()
{
    help;
    cin>>A>>B;
    n=strlen(A),m=strlen(B);
    n--,m--;
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i].x=A[n-i]-'0';
    for(int i=0;i<=m;i++)b[i].x=B[m-i]-'0';
    while((1<<bit)<n+m+1)bit++;
    tot=1<<bit;
    for(int i=0;i<tot;i++)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(bit-1));
    fft(a,1),fft(b,1);
    for(int i=0;i<tot;i++)a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    int t=0,k=0;
    for(int i=0;i<tot||t;i++)
    {
    	t+=a[i].x/tot+0.5;
    	res[k++]=t%10;
    	t/=10;
    }
    while(k>1&&!res[k-1])k--;
    for(int i=k-1;~i;i--)cout<<res[i];
    return 0;
}