1063. 永无乡

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1063. 永无乡

永无乡包含 $n$ 座岛，编号从 $1$ 到 $n$ ，每座岛都有自己的独一无二的重要度，按照重要度可以将这 $n$ 座岛排名，名次用 $1$ 到 $n$ 来表示。

某些岛之间由巨大的桥连接，通过桥可以从一个岛到达另一个岛。

如果从岛 $a$ 出发经过若干座（含 $0$ 座）桥可以到达岛 $b$ ，则称岛 $a$ 和岛 $b$ 是连通的。

现在有两种操作：

• $B\ x\ y$ 表示在岛 $x$ 与岛 $y$ 之间修建一座新桥。

• $Q\ x\ k$ 表示询问当前与岛 $x$ 连通的所有岛中第 $k$ 重要的是哪座岛，即所有与岛 $x$ 连通的岛中重要度排名第 $k$ 小的岛是哪座，请你输出那个岛的编号。

输入格式

第一行是用空格隔开的两个正整数 $n$ 和 $m$ ，分别表示岛的个数以及一开始存在的桥数。

接下来的一行是用空格隔开的 $n$ 个数，依次描述从岛 $1$ 到岛 $n$ 的重要度排名。

随后的 $m$ 行每行是用空格隔开的两个正整数 $a_i$ 和 $b_i$ ，表示一开始就存在一座连接岛 $a_i$ 和岛 $b_i$ 的桥。

后面剩下的部分描述操作，该部分的第一行是一个正整数 $q$ ，表示一共有 $q$ 个操作，接下来的 $q$ 行依次描述每个操作，操作的格式如上所述，以大写字母 $Q$ 或 $B$ 开始，后面跟两个不超过 $n$ 的正整数，字母与数字以及两个数字之间用空格隔开。

输出格式

对于每个 $Q\ x\ k$ 操作都要依次输出一行，其中包含一个整数，表示所询问岛屿的编号。

如果该岛屿不存在，则输出 $-1$。

数据范围

对于 $20%$ 的数据 $n \le 1000, q \le 1000$,
对于 $100%$ 的数据 $n \le 100000, m \le n, q \le 300000$

输入样例：

5 1
4 3 2 5 1
1 2
7
Q 3 2
Q 2 1
B 2 3
B 1 5
Q 2 1
Q 2 4
Q 2 3

输出样例：

-1
2
5
1
2

解题思路

splay，启发式合并

建立 $n$ 棵 $splay$ 树，合并时用并查集维护信息，当要合并两棵 $splay$ 树时，直接暴力将一棵 $splay$ 树插入到另外一棵 $splay$ 树上，可采用启发式合并，即将更小的 $splay$ 树合并到更大的 $splay$ 树上。注意：当合并时，将节点一个一个插入 $splay$ 树中时，完全可以利用该节点的状态编号而不必生成新的节点编号，另外 $splay$ 树中的状态节点编号与中序遍历表示的值的编号是相等的，且所有操作没有改变其对应的关系，所以可以直接利用状态节点编号返回查询的信息
另外，简单说下并查集中的节点与 $splay$ 树中的节点的联系：并查集中节点表示一棵 $splay$ 树，并查集的根节点 $i$ 用 $root[i]$ 表示 $splay$ 树中的根节点编号，注意，$i\neq root[i]$，在执行 $splay(x,k)$ 操作时，并查集的 $i$ 是不会变化的，而 $splay$ 的根节点时刻发生变化，当节点的编号不会发现生变化，即 $splay$ 的节点编号依然与中序遍历的编号对应

• 时间复杂度：$O(n+qlog^2n)$

代码

// Problem: 永无乡
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1065/
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int n,m,root[N],fa[N],a,b;
struct Tr
{
	int s[2],p,v,sz;
	void init(int _p,int _v)
	{
		p=_p,v=_v;
		sz=1;
	}
}tr[N];
int find(int x)
{
	return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void pushup(int u)
{
	tr[u].sz=tr[tr[u].s[0]].sz+tr[tr[u].s[1]].sz+1;
}
void rotate(int x)
{
	int y=tr[x].p,z=tr[y].p;
	int k=tr[y].s[1]==x;
	tr[z].s[tr[z].s[1]==y]=x,tr[x].p=z;
	tr[y].s[k]=tr[x].s[k^1],tr[tr[x].s[k^1]].p=y;
	tr[x].s[k^1]=y,tr[y].p=x;
	pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x,int k,int r)
{
	while(tr[x].p!=k)
	{
		int y=tr[x].p,z=tr[y].p;
		if(z!=k)
		{
			if((tr[z].s[1]==y)^(tr[y].s[1]==x))rotate(x);
			else
				rotate(y);	
		}
		rotate(x);
	}
	if(!k)root[r]=x;
}

void insert(int v,int r)
{
	int u=root[r],p=0;
	while(u)p=u,u=tr[u].s[tr[v].v>tr[u].v];
	u=v;
	if(p)tr[p].s[tr[v].v>tr[p].v]=u;
	tr[u].init(p,tr[v].v);
	splay(u,0,r);
}
void dfs(int v,int u)
{
	if(tr[v].s[0])dfs(tr[v].s[0],u);
	if(tr[v].s[1])dfs(tr[v].s[1],u);
	insert(v,u);
}
int get_k(int u,int k)
{
	while(u)
	{
		if(tr[tr[u].s[0]].sz>=k)u=tr[u].s[0];
		else if(tr[tr[u].s[0]].sz+1==k)return u;
		else
			k-=tr[tr[u].s[0]].sz+1,u=tr[u].s[1];
	}
	return -1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int v;
    	scanf("%d",&v);
    	fa[i]=root[i]=i;
    	tr[i].init(0,v);
    }
    while(m--)
    {
    	scanf("%d%d",&a,&b);
    	a=find(a),b=find(b);
    	if(a!=b)
    	{
    		if(tr[root[a]].sz>tr[root[b]].sz)swap(a,b);
    		dfs(root[a],b);
    		fa[a]=b;
    	}
    }
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
    	char op[2];
    	scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
    	if(*op=='B')
    	{
    		a=find(a),b=find(b);
	    	if(a!=b)
	    	{
	    		if(tr[root[a]].sz>tr[root[b]].sz)swap(a,b);
	    		dfs(root[a],b);
	    		fa[a]=b;
	    	}
    	}
    	else
    	{
    		a=find(a);
    		printf("%d\n",tr[root[a]].sz>=b?get_k(root[a],b):-1);
    	}
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16462239.html
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