219. 剪纸游戏

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219. 剪纸游戏

给定一张 \(N \times M\) 的矩形网格纸，两名玩家轮流行动。

在每一次行动中，可以任选一张矩形网格纸，沿着某一行或某一列的格线，把它剪成两部分。

首先剪出 \(1 \times 1\) 的格纸的玩家获胜。

两名玩家都采取最优策略行动，求先手是否能获胜。

提示：开始时只有一张纸可以进行裁剪，随着游戏进行，纸张被裁剪成 \(2,3,…\) 更多张，可选择进行裁剪的纸张就会越来越多。

输入格式

输入包含多组测试数据，每组数据占一行。

每组数据包括两个整数 \(N\) 和 \(M\)，表示初始网格纸的尺寸。

输出格式

每组测试数据输出一个结果，结果占一行。

如果先手方必胜，则输出 WIN；

如果先手方必输，则输出 LOSE。

数据范围

\(2 \le N,M \le 200\)

输入样例：

2 2
3 2
4 2

输出样例：

LOSE
LOSE
WIN

解题思路

博弈论，sg函数

对于先手而言，其一定不会剪出 \(1\times X\) 或 \(X\times 1\) 的纸张，因为后面后手会直接剪出 \(1\times 1\) 的纸张，所以先手必定会至少从 \(2\) 开始剪纸，而无论如何 \(2\times 2,2\times 3,3\times 2\) 这三种局面都会是必败态，将其设置为终态，每次横或竖剪纸后分成两个子剪纸游戏，两个子剪纸游戏 \(sg\) 值异或得该状态 \(sg\) 值，最后 \(mex\) 运算计算整体 \(sg\) 值，同时记忆化可降低复杂度

• 时间复杂度：\(O(n^3)\)

代码

// Problem: 剪纸游戏
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/221/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=205;
int f[N][N],n,m;
int sg(int n,int m)
{
	if(f[n][m]!=-1)return f[n][m];
	unordered_set<int> s;
	for(int i=2;i<=n-i;i++)s.insert(sg(i,m)^sg(n-i,m));
	for(int i=2;i<=m-i;i++)s.insert(sg(n,i)^sg(n,m-i));
	for(int i=0;;i++)
		if(!s.count(i))return f[n][m]=f[m][n]=i;
}
int main()
{
    memset(f,-1,sizeof f);
    f[2][2]=f[2][3]=f[3][2]=0;
    while(cin>>n>>m)puts(sg(n,m)?"WIN":"LOSE");
    return 0;
}