Codeforces Round #719 (Div. 3)

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Codeforces Round #719 (Div. 3)

G. To Go Or Not To Go?

给定一个 \(n \times m\) 的网格，每个格子 \((i, j)\) 都有一个整数参数 \(a_{i j}\left(-1 \leq a_{i j} \leq 10^{9}\right)\) ，
\(a_{i j}=-1\) 表示这个格子不能通过；否则，这个格子可以通过，若 \(a_{i j}>0\) 则表示这个格子内有一个传送 门。
现在小 想要从 \((1,1)\) 移动到到 \((n, m)\) ，它可以以如下两种方式移动:

• 在任意两个相邻且参数均不为 \(-1\) 的格子间移动，花费为 \(w\) ；
• 在有传送门的两个格子 \((i, j)\) 和 \((x, y)\) 间移动，花费为 \(a_{i j}+a_{x y}\) 。

求小D所需的最小花费。

输入格式

第一行输入三个整数 \(n, m, w\left(1 \leq n, m \leq 2 \times 10^{3} ， 1 \leq w \leq 10^{9}\right)\) 。
接下来 \(n\) 行，每行 \(m\) 个数，第 \(i\) 行的第 \(j\) 个数表示 \(a_{i j}\) 。

输出格式

输出小D的最小花费。若他无法由 \((1,1)\) 到 \((n, m)\) ，输出 \(-1\) 。

解题思路

bfs

在不考虑传送门（即将其作为空格子）的情况下，bfs求出由 \((1,1)\) 出发到达 \((i,j)\) 的最短距离 \(d1[i][j]\)，然后由传送门的性质，假设由 \((i,j)\) 传送到 \(x,y\)，则代价为 \(d1[i][j]+a[i][j]+a[x][y]\)，要求代价越小越好，即求 \(d1[i][j]+a[i][j]\) 的最小值，更新所有到达传送门的最小代价，注意，更新的传送门坐标不能放入队列中更新其他位置的代价，不然此时不是多源bfs，而是多源dijkstra，会超时。可以发现，不会使用两次及以上的传送，因为可以直接由 \(d1[i][j]+a[i][j]\) 最小的那个位置直接传送过来，所以最多只传送一次，其他都是非传送的情况，所以再利用bfs计算出到 \((i,j)\) 到 \((n,m)\) 的最短距离 \(d2[i][j]\)，遍历所有非障碍格子，取最小代价即可

• 时间复杂度：\(O(nm)\)

代码