4418. 选元素
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4418. 选元素
给定一个长度为 \(n\) 的整数序列 \(a_1,a_2,…,a_n\)。
请你从中挑选 \(x\) 个元素，要求：
- 原序列中的每一个长度为 \(k\) 的连续子序列都至少包含一个被选中的元素。
- 满足条件 \(1\) 的前提下，所选 \(x\) 个元素的相加之和应尽可能大。
输出最大可能和。
输入格式
第一行包含三个整数 \(n,k,x\)。
第二行包含 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,…,a_n\)。
输出格式
如果无法满足题目要求，则输出 \(−1\)。
否则，输出一个整数，表示所选元素的最大可能和。
数据范围
前三个测试点满足 \(1≤k,x≤n≤6\)。
所有测试点满足 \(1≤k,x≤n≤200，1≤a_i≤10^9\)。
输入样例1：
5 2 3
5 1 3 10 1
输出样例1：
18
输入样例2：
6 1 5
10 30 30 70 10 10
输出样例2：
-1
输入样例3：
4 3 1
1 100 1 1
输出样例3：
100
解题思路
dp
-
状态表示：\(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个数且选了第 \(i\) 个数，共选了 \(j\) 个数的最大和
-
状态计算：\(f[i][j]=max(\{f[t][j-1]\})+a[i]\)，其中 \(i-t\leq k\)
-
时间复杂度：\(O(n^3)\)
单调队列优化dp
相当于在 \(t\in[max(0,i-k),i)\) 范围内找 \(f[t][j-1]\) 的最大值，其中 \(j-1\) 固定，将其放在外层循环即可，问题及转化为滑动窗口找最大值问题，每次外层循环注意将 \(0\) 放入队列中，因为 \(0\) 可能会用到
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)
代码
// Problem: 选元素
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/4421/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=205;
int n,k,x;
int a[N];
LL f[N][N];
int main()
{
help;
cin>>n>>k>>x;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
memset(f,-0x3f,sizeof f);
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=x;j++)
for(int t=max(0,i-k);t<i;t++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[t][j-1]+a[i]);
LL res=-1;
for(int i=n-k+1;i<=n;i++)
res=max(res,f[i][x]);
cout<<res;
return 0;
}
- 单调队列优化
// Problem: 选元素
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/4421/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=205;
int n,k,x,a[N];
LL f[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&k,&x);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
memset(f,-0x3f,sizeof f);
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=x;i++)
{
deque<int> q;
q.pb(0);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(q.size()&&j-1-q.front()+1>k)q.pop_front();
f[j][i]=f[q.front()][i-1]+a[j];
while(q.size()&&f[q.back()][i-1]<f[j][i-1])q.pop_back();
q.push_back(j);
}
}
LL res=-1;
for(int i=n-k+1;i<=n;i++)res=max(res,f[i][x]);
printf("%lld",res);
return 0;
}
