4418. 选元素

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4418. 选元素

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $a_1,a_2,…,a_n$。

请你从中挑选 $x$ 个元素，要求：

1. 原序列中的每一个长度为 $k$ 的连续子序列都至少包含一个被选中的元素。
2. 满足条件 $1$ 的前提下，所选 $x$ 个元素的相加之和应尽可能大。
   输出最大可能和。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,k,x$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,…,a_n$。

输出格式

如果无法满足题目要求，则输出 $−1$。

否则，输出一个整数，表示所选元素的最大可能和。

数据范围

前三个测试点满足 $1≤k,x≤n≤6$。
所有测试点满足 $1≤k,x≤n≤200，1≤a_i≤10^9$。

输入样例1：

5 2 3
5 1 3 10 1

输出样例1：

18

输入样例2：

6 1 5
10 30 30 70 10 10

输出样例2：

-1

输入样例3：

4 3 1
1 100 1 1

输出样例3：

100

解题思路

dp

• 状态表示：$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数且选了第 $i$ 个数，共选了 $j$ 个数的最大和

• 状态计算：$f[i][j]=max(\{f[t][j-1]\})+a[i]$，其中 $i-t\leq k$

• 时间复杂度：$O(n^3)$

单调队列优化dp

相当于在 $t\in[max(0,i-k),i)$ 范围内找 $f[t][j-1]$ 的最大值，其中 $j-1$ 固定，将其放在外层循环即可，问题及转化为滑动窗口找最大值问题，每次外层循环注意将 $0$ 放入队列中，因为 $0$ 可能会用到

• 时间复杂度：$O(n^2)$

代码

// Problem: 选元素
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/4421/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=205;
int n,k,x;
int a[N];
LL f[N][N];
int main()
{
    help;
    cin>>n>>k>>x;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=x;j++)
    		for(int t=max(0,i-k);t<i;t++)
    			f[i][j]=max(f[i][j],f[t][j-1]+a[i]);
	LL res=-1;
	for(int i=n-k+1;i<=n;i++)
		res=max(res,f[i][x]);
	cout<<res;
    return 0;
}

• 单调队列优化

// Problem: 选元素
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/4421/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=205;
int n,k,x,a[N];
LL f[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&x);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
    	deque<int> q;
    	q.pb(0);
    	for(int j=1;j<=n;j++)
    	{
    		if(q.size()&&j-1-q.front()+1>k)q.pop_front();
    		f[j][i]=f[q.front()][i-1]+a[j];
    		while(q.size()&&f[q.back()][i-1]<f[j][i-1])q.pop_back();
    		q.push_back(j);
    	}
    }
    LL res=-1;
    for(int i=n-k+1;i<=n;i++)res=max(res,f[i][x]);
    printf("%lld",res);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16244195.html
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