2715. 后缀数组

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2715. 后缀数组

给定一个长度为 \(n\) 的字符串，只包含大小写英文字母和数字。

将字符串中的 \(n\) 个字符的位置编号按顺序设为 \(1∼n\)。

并将该字符串的 \(n\) 个非空后缀用其起始字符在字符串中的位置编号表示。

现在要对这 \(n\) 个非空后缀进行字典序排序，并给定两个数组 \(SA\) 和 \(Height\)。

排序完成后，用 \(SA[i]\) 来记录排名为 \(i\) 的非空后缀的编号，用 \(Height[i]\) 来记录排名为 \(i\) 的非空后缀与排名为 \(i−1\) 的非空后缀的最长公共前缀的长度（\(1≤i≤n\)）。

特别的，规定 \(Height[1]=0\)。

请你求出这两个数组。

输入格式

共一行，包含一个长度为 \(n\) 的仅包含大小写英文字母或数字的字符串。

输出格式

第一行包含 \(n\) 个整数，表示 \(SA\) 数组。

第二行包含 \(n\) 个整数，表示 \(Height\) 数组。

数据范围

\(1≤n≤10^6\)

输入样例：

abababab

输出样例：

7 5 3 1 8 6 4 2
0 2 4 6 0 1 3 5

解题思路

后缀数组，倍增

后缀数组有两个关键的数组：
在后缀形成的数组 \(x[i]\) 中，

• \(sa[i]\) 数组表示数组 \(x\) 中 排名为 \(i\) 的数组下标

• \(height[i]\) 表示 \(sa[i]\) 和 \(sa[i-1]\) 的最长公共前缀

\(\color{red}{如何倍增求解 sa 数组？}\)
基于基数排序的思想，设置一个桶 \(c[i]\) 表示值为 \(i\) 的数的数量，先将所有后缀子串按第一个字符排序，基数排序是稳定的，当第一个字符相等时不会改变原后缀子串的顺序，每次排序按长度排序，长度不足后面用字典序最小的字符补齐，例如前一次倍增排好了长度为 \(k\) 的子串，此时排序长度为 \(2\times k\) 的子串，由于基数排序的稳定性，整体上可以将长度为 \(2\times k\) 的子串先将后 \(k\) 个字符排序，再将前 \(k\) 个字符排序，这样可以保证对于长度为 \(2\times k\) 的子串来说，前 \(k\) 个子串相等，后 \(k\) 个子串也会是排好序的，这样长度为 \(2\times k\) 的子串就排好了序，同时可求解 \(sa\) 数组

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

\(\color{red}{如何求解 height 数组？}\)

先定义函数 \(lcp(i,j)\)：表示排名为 \(i\) 和 \(j\) 的最长公共前缀，则有 \(lcp(i,j)=min(lcp(i,k),lcp(k,j))\)，其中 \(i<j\)
证明：先证明 \(min(lcp(i,k),lcp(k,j))\geq lcp(i,j)\)，假设 \(lcp(i,j)\) 为某一段，如果 \(lcp(i,k)\) 要小于该段，显然会导致 \(k\) 不应该处在 \(i\) 和 \(j\) 之间，矛盾，故 \(lcp(i,k)\geq lcp(i,j)\)，同理 \(lcp(j,k)\geq lcp(i,j)\)，即 \(min(lcp(i,k),lcp(k,j))\geq lcp(i,j)\)；再证明 \(min(lcp(i,k),lcp(k,j))\leq lcp(i,j)\)，当 \(lcp(i,k)>lcp(i,j)\) 时，如果 \(lcp(k,j)>lcp(i,j)\)，此时会导致 \(lcp(i,j)\) 不止原来这么小，所以 \(lcp(k,j)\leq lcp(i,j)\)，故 \(min(lcp(i,k),lcp(k,j))\leq lcp(i,j)\)，当 \(lcp(i,k)\leq lcp(i,j)\) 时，显然也有 \(min(lcp(i,k),lcp(k,j))\leq lcp(i,j)\)，故 \(lcp(i,j)=min(lcp(i,k),lcp(k,j))\)，很容易引申出 \(lcp(i,j)=min(lcp(i,i+1),lcp(i+1,i+2),\dots,lcp(j-1,j))\)

再定义数组 \(h[i]\) 表示下标为 \(i\) 的后缀和排名为 \(sa[i]-1\) 的后缀的最长公共前缀，则有 \(h[i]\geq h[i-1]-1\)
证明：假设第 \(i-1\) 个后缀的排名比第 \(i\) 个后缀靠前，靠后的话也是同样考虑，如果 \(h[i-1]=0\) 即第 \(i-1\) 个后缀与前一个排名的后缀的第一个字符不相等，显然有 \(h[i]\geq 0-1\)，否则第 \(i-1\) 个后缀除去第一个字符正好对应第 \(i\) 个后缀，考虑第 \(i-1\) 个后缀的前一个排名的后缀除去第一个字符后的后缀 \(k\)，除去第一个后缀后，两者顺序不变，第 \(i-1\) 个后缀变为第 \(i\) 个后缀，所以此时 \(k\) 在 \(i\) 的前面，由上面的定理，\(lcp(k,i)=min(lcp(k,k+1),lcp(k+1,k+2),\dots,lcp(i-1,i))\)，即有 \(lcp(k,i)\leq lcp(i-1,i)\)，即 \(h[i-1]-1\leq h[i]\)
定义数组 \(rk[i]\) 表示下标为 \(i\) 的排名，则 \(rk[sa[i]]=i\)
而又有 \(height[rk[i]]=h[i]\)，求出 \(h\) 等价于求出 \(height\) 数组

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

// Problem: 后缀数组
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2717/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e6+5;
int n,m,cnt,c[N],x[N],y[N],sa[N],rk[N],height[N];
char s[N];
void get_sa()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)c[x[i]=s[i]]++;
	for(int i=2;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1];
	for(int i=n;i>=1;i--)sa[c[x[i]]--]=i;
	for(int k=1;k<=n;k<<=1)
	{
		cnt=0;
		for(int i=n-k+1;i<=n;i++)y[++cnt]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(sa[i]>k)y[++cnt]=sa[i]-k;
		for(int i=1;i<=m;i++)c[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)c[x[i]]++;
		for(int i=2;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1];
		for(int i=n;i>=1;i--)sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
		//y[i]表示排名为i的下标，x[y[i]]表示排名为i的权值
		swap(x,y);
		x[sa[1]]=1,cnt=1;
		for(int i=2;i<=n;i++)
			x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?cnt:++cnt;
		if(cnt==n)break;
		m=cnt;
	}
}
void get_height()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)rk[sa[i]]=i;
	for(int i=1,k=0;i<=n;i++)
	{
		if(rk[i]==1)continue;
		if(k)k--;
		int j=sa[rk[i]-1];
		while(i+k<=n&&s[i+k]==s[j+k])k++;
		height[rk[i]]=k;
	}
}
int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    m='z';
    get_sa();
    get_height();
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sa[i]);
    puts("");
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",height[i]);
    return 0;
}