Bond
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Bond
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每条边有一个权值，有 \(q\) 个询问，每次询问给出两个点 \((s,t)\)，找到从一条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，使得最大权值最小，只需输出这个权值
解题思路
最小生成树，ST，树链剖分，并查集按秩合并，最小瓶颈生成树，kruskal重构树
首先，可以肯定一点，这条路径一定可以是最小生成树上的一条唯一路径
定理：最小生成树是最小瓶颈生成树，但是最小瓶颈生成树不一定是最小生成树
可利用 kruskal 算法求出最小生成树，再利用和 \(LCA\) 类似的思想求出最小生成树上两点之间的最大权值，或者求树上两点之间的最大值可利用树链剖分（树链剖分只是一种思想，可用线段树或 \(st\) 表来实现）来求，或者可以用 tarjan 离线求解，另外还可以kruskal重构树，答案即为重构树两点之间的 lca
当然，在利用并查集求最小生成树时可以按秩合并，这样整棵树的高度为 \(O(logn)\) 级别，这样只需要从 \(s\) 开始回溯并记录到该节点的最大值，然后从 \(t\) 开始回溯，如果遇到标记，该标记如果为根节点，说明两个点不在一条链上，则取记录到该节点的较大值；否则在一条链上仍取较大值，因为如果 \(t\) 位于 \(s\) 下面，遇到标记时说明 \(t\) 到 \(s\) 的路径已经走过了，否则如果 \(t\) 位于 \(s\) 上面，则一开始就回溯，答案即为到 \(t\) 的最大值
\(\color{red}{并查集按秩合并虽然没破坏树形结构，但最后形成的树也不是最小生成树，为什么可以直接按最小生成树操作？}\)
由于边权是按从小到大排序的，每次合并时大的边权都集中在深度较低的位置，由于计算的是最大权值，即使向上回溯时有些边权没有统计到，但大的边权一定会统计到，所以不会对答案造成影响
- 时间复杂度：\(O(mlogm+qlogn)\)
tarjan：
- 时间复杂度：\(O(mlogm+q)\)
树链剖分（线段树）:
- 时间复杂度：\(O(mlogm+qlog^2n)\)
树链剖分（st）：
- 时间复杂度：\(O(mlogm+qlogn)\)
kruskal 重构树：
- 时间复杂度：\(O(mlogm+q)\)
代码
- tarjan
// Problem: Bond
// Contest: Virtual Judge - UVA
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// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int n,m,q,h[N],fa[N],up[N],res[M],w[N];
vector<PII> adj[N];
vector<PII> query[N];
PII ask[M];
vector<int> ids[N];
bool vis[N];
struct A
{
int x,y,w;
bool operator<(const A &o)
{
return w<o.w;
}
}a[M];
void merge(int x,int y)
{
if(h[x]<h[y])fa[x]=y;
else
{
fa[y]=x;
if(h[x]==h[y])h[x]++;
}
}
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int get(int x)
{
if(x==fa[x])return x;
int t=get(fa[x]);
up[x]=max(up[x],up[fa[x]]);
return fa[x]=t;
}
void kruskal()
{
sort(a+1,a+1+m);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=a[i].x,y=a[i].y,w=a[i].w;
int tx=x,ty=y;
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)continue;
cnt++;
merge(x,y);
adj[tx].emplace_back(ty,w);
adj[ty].emplace_back(tx,w);
if(cnt>=n-1)break;
}
}
void add_query(int u,int v,int id)
{
query[u].emplace_back(v,id);
query[v].emplace_back(u,id);
}
void tarjan(int u,int father)
{
up[u]=0;
for(auto t:adj[u])
{
int v=t.fi,w=t.se;;
if(v==father)continue;
tarjan(v,u);
up[v]=w;
fa[v]=u;
}
vis[u]=true;
for(auto t:query[u])
{
int v=t.fi,id=t.se;
if(vis[v])
ids[get(v)].pb(id);
}
for(int id:ids[u])
{
int u=ask[id].fi,v=ask[id].se;
get(u),get(v);
res[id]=max(up[u],up[v]);
}
}
int main()
{
help;
bool f=false;
while(cin>>n>>m)
{
if(f)puts("");
f=true;
for(int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i,ids[i].clear(),adj[i].clear(),query[i].clear(),up[i]=vis[i]=h[i]=0;
for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].w;
kruskal();
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
cin>>q;
for(int i=1;i<=q;i++)
{
cin>>ask[i].fi>>ask[i].se;
add_query(ask[i].fi,ask[i].se,i);
}
tarjan(1,0);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
cout<<res[i]<<'\n';
res[i]=0;
}
}
return 0;
}
- ST+并查集路径压缩+按秩合并（高度）
// Problem: Bond
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#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int n,m,q,s,t,tt,fa[N],h[N],d[N],f[N][20],mx[N][20];
vector<PII> adj[N];
struct A
{
int a,b,w;
bool operator<(const A &o)
{
return w<o.w;
}
}a[M];
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
if(h[x]<h[y])
fa[x]=y;
else
{
fa[y]=x;
if(h[x]==h[y])h[x]++;
}
}
void kruskal()
{
int cnt=0;
sort(a+1,a+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=a[i].a,y=a[i].b,w=a[i].w;
int tx=x,ty=y;
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)continue;
cnt++;
merge(x,y);
adj[tx].pb({ty,w});
adj[ty].pb({tx,w});
if(cnt>=n-1)break;
}
}
void bfs()
{
queue<int> q;
q.push(1);
d[1]=1;
while(q.size())
{
int x=q.front();
q.pop();
for(auto t:adj[x])
{
int y=t.fi,w=t.se;
if(d[y])continue;
d[y]=d[x]+1;
f[y][0]=x;
mx[y][0]=w;
for(int i=1;i<=tt;i++)f[y][i]=f[f[y][i-1]][i-1],mx[y][i]=max(mx[y][i-1],mx[f[y][i-1]][i-1]);
q.push(y);
}
}
}
int LCA(int x,int y)
{
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
int res=0;
for(int i=tt;i>=0;i--)
if(d[f[x][i]]>=d[y])res=max(res,mx[x][i]),x=f[x][i];
if(x==y)return res;
for(int i=tt;i>=0;i--)
if(f[x][i]&&f[x][i]!=f[y][i])res=max({res,mx[x][i],mx[y][i]}),x=f[x][i],y=f[y][i];
return max({res,mx[x][0],mx[y][0]});
}
int main()
{
help;
int T=0;
while(cin>>n>>m)
{
for(int i=1;i<=n;i++)adj[i].clear(),h[i]=d[i]=0;
if(T)puts("");
T++;
tt=log(n)/log(2);
for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i].a>>a[i].b>>a[i].w;
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
kruskal();
bfs();
cin>>q;
while(q--)
{
cin>>s>>t;
cout<<LCA(s,t)<<'\n';
}
}
return 0;
}
- 树链剖分（线段树）
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#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int n,m,x,y,d,q,s,t,fa[N],cnt,sz[N],son[N],pa[N],dep[N],top[N],nw[N],fw[N],id[N];
vector<PII> adj[N];
struct A
{
int x,y,w;
bool operator<(const A &o)
{
return w<=o.w;
}
}a[M];
struct T
{
int l,r;
int mx;
}tr[4*N];
void pushup(int u)
{
tr[u].mx=max(tr[u<<1].mx,tr[u<<1|1].mx);
}
void build(int u,int l,int r)
{
tr[u]={l,r,0};
if(l==r)
{
tr[u].mx=nw[l];
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
pushup(u);
}
int ask(int u,int l,int r)
{
if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r)return tr[u].mx;
int res=0;
int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
if(l<=mid)res=max(res,ask(u<<1,l,r));
if(r>mid)res=max(res,ask(u<<1|1,l,r));
return res;
}
int ask_path(int u,int v)
{
int res=0;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
res=max(res,ask(1,id[top[u]],id[u]));
u=pa[top[u]];
}
if(u==v)return res;
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
res=max(res,ask(1,id[son[u]],id[v]));
return res;
}
int find(int x)
{
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void kruskal()
{
sort(a+1,a+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=a[i].x,y=a[i].y,w=a[i].w;
int tx=x,ty=y;
x=find(x),y=find(y);
if(x!=y)
{
fa[x]=y;
adj[tx].pb({ty,w}),adj[ty].pb({tx,w});
}
}
}
void dfs(int x,int fa,int depth)
{
sz[x]=1,pa[x]=fa,dep[x]=depth,son[x]=0;
for(auto t:adj[x])
{
int y=t.fi;
if(y==fa)continue;
fw[y]=t.se;
dfs(y,x,depth+1);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[son[x]]<sz[y])son[x]=y;
}
}
void dfs1(int x,int tt)
{
id[x]=++cnt,nw[cnt]=fw[x],top[x]=tt;
if(!son[x])return ;
dfs1(son[x],tt);
for(auto t:adj[x])
{
int y=t.fi;
if(y==son[x]||y==pa[x])continue;
dfs1(y,y);
}
}
int main()
{
bool f=false;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
if(f)puts("");
f=true;
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].w);
for(int i=0;i<=n;i++)adj[i].clear(),fa[i]=pa[i]=i;
kruskal();
cnt=-1;
dfs(1,0,1);
dfs1(1,1);
build(1,0,cnt);
cin>>q;
while(q--)
{
scanf("%d%d",&s,&t);
printf("%d\n",ask_path(s,t));
}
}
return 0;
}
- 树链剖分（st表）
// Problem: Bond
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// Memory Limit: 1024 MB
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//
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// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int n,m,q,s,t,st[N][20],id[N],idx,sz[N],h[N],top[N],dep[N],son[N],fa[N],tt;
vector<PII> adj[N];
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
if(h[x]<h[y])
fa[x]=y;
else
{
fa[y]=x;
if(h[x]==h[y])h[x]++;
}
}
struct A
{
int x,y,w;
bool operator<(const A&o)
{
return w<o.w;
}
}a[M];
void kruskal()
{
sort(a+1,a+1+m);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=a[i].x,y=a[i].y,w=a[i].w;
int tx=x,ty=y;
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)continue;
cnt++;
merge(x,y);
adj[tx].emplace_back(ty,w);
adj[ty].emplace_back(tx,w);
if(cnt>=n-1)break;
}
}
void dfs(int x)
{
sz[x]=1;
son[x]=0;
for(auto t:adj[x])
{
int y=t.fi;
if(y==fa[x])continue;
dep[y]=dep[x]+1;
fa[y]=x;
dfs(y);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[son[x]]<sz[y])son[x]=y;
}
}
void dfs(int x,int tt)
{
id[x]=++idx,top[x]=tt;
if(son[x])dfs(son[x],tt);
for(auto t:adj[x])
{
int y=t.fi,w=t.se;
if(y!=fa[x]&&y!=son[x])
dfs(y,y);
if(y==fa[x])st[id[x]][0]=w;
}
}
int ask_st(int l,int r)
{
int k=log(r-l+1)/log(2);
return max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}
int ask(int u,int v)
{
int res=0;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
res=max(res,ask_st(id[top[u]],id[u]));
u=fa[top[u]];
}
if(u==v)return res;
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
res=max(res,ask_st(id[son[u]],id[v]));
return res;
}
int main()
{
help;
bool f=false;
while(cin>>n>>m)
{
if(f)puts("");
f=true;
for(int i=1;i<=n;i++)adj[i].clear(),fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].w;
tt=log(n)/log(2);
kruskal();
fa[1]=0;
dep[1]=1;
dfs(1);
idx=0;
dfs(1,1);
for(int j=1;j<=tt;j++)
for(int i=1;i+(1<<j-1)<=n;i++)
st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
cin>>q;
while(q--)
{
cin>>s>>t;
cout<<ask(s,t)<<'\n';
}
}
return 0;
}
- 并查集按秩合并（大小）
// Problem: Bond
// Contest: Virtual Judge - UVA
// URL: https://vjudge.net/problem/UVA-11354
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 8000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int n,m,x,y,d,q,s,t,fa[N],sz[N],e[N],vis[N];
struct A
{
int x,y,w;
bool operator<(const A &o)
{
return w<=o.w;
}
}a[M];
int find(int x)
{
return fa[x]==x?x:find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y,int w)
{
if(sz[x]<sz[y])
{
fa[x]=y;
sz[y]+=sz[x];
e[x]=w;
}
else
{
fa[y]=x;
sz[x]+=sz[y];
e[y]=w;
}
}
void kruskal()
{
sort(a+1,a+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=a[i].x,y=a[i].y,w=a[i].w;
x=find(x),y=find(y);
if(x!=y)merge(x,y,w);
}
}
void solve(int s,int t)
{
for(int i=0;i<=n;i++)vis[i]=0;
int res1=1,res2=0;
int now=s;
while(true)
{
vis[now]=res1;
if(now==fa[now])break;
res1=e[now];
now=fa[now];
}
now=t;
while(true)
{
if(vis[now])
{
res2=max(res2,vis[now]);
break;
}
res2=e[now];
now=fa[now];
}
cout<<res2<<'\n';
}
int main()
{
help;
bool f=false;
while(cin>>n>>m)
{
if(f)puts("");
f=true;
for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].w;
for(int i=0;i<=n;i++)fa[i]=i,sz[i]=1;
kruskal();
cin>>q;
while(q--)
{
cin>>s>>t;
solve(s,t);
}
}
return 0;
}
- kruskal 重构树
// Problem: Bond
// Contest: Virtual Judge - UVA
// URL: https://vjudge.net/problem/UVA-11354
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 8000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) {
return (y > x) ? x = y, 1 : 0;
}
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) {
return (y < x) ? x = y, 1 : 0;
}
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1;
x = 0;
char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') {
if (s == '-')
f = -1;
s = getchar();
}
while (s <= '9' && s >= '0')
x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N = 5e4 + 5, M = 1e5 + 5;
int n, m;
int w[N << 1], fa[N << 1], cnt, dfn[N << 2], pos[N << 1], time_stamp, d[N << 1];
int f[N << 2][20];
vector<int> adj[N << 1];
struct Tr {
int l, r, w;
bool operator<(const Tr &o)const {
return w < o.w;
}
} tr[M];
int find(int x) {
return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void kruskal() {
sort(tr + 1, tr + 1 + m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int x = tr[i].l, y = tr[i].r;
x = find(x), y = find(y);
if (x != y) {
w[++cnt] = tr[i].w;
adj[cnt].pb(x), adj[cnt].pb(y);
fa[x] = cnt, fa[y] = cnt;
}
}
}
void dfs(int x, int fa) {
dfn[++time_stamp] = x;
pos[x] = time_stamp;
d[x] = d[fa] + 1;
for (int y : adj[x])
if (y != fa) {
dfs(y, x);
dfn[++time_stamp] = x;
}
}
void init() {
for (int i = 1; i <= time_stamp; i++)
f[i][0] = dfn[i];
int t = __lg(time_stamp);
for (int j = 1; j <= t; j++)
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= time_stamp; i++)
if (d[f[i][j - 1]] < d[f[i + (1 << j - 1)][j - 1]])
f[i][j] = f[i][j - 1];
else
f[i][j] = f[i + (1 << j - 1)][j - 1];
}
int ask(int x, int y) {
int l = pos[x], r = pos[y];
if (l > r)
swap(l, r);
int t = __lg(r - l + 1);
if (d[f[l][t]] < d[f[r - (1 << t) + 1][t]])
return w[f[l][t]];
return w[f[r - (1 << t) + 1][t]];
}
int main() {
help;
bool f=false;
while(cin>>n>>m)
{
if(f)puts("");
f=true;
for(int i=1;i<=m;i++)cin>>tr[i].l>>tr[i].r>>tr[i].w;
for(int i=0;i<=2*n;i++)fa[i]=i,adj[i].clear();
cnt=n;
time_stamp=0;
kruskal();
dfs(cnt, 0);
init();
int q,s,t;
for(cin>>q;q;q--)
{
cin>>s>>t;
cout<<ask(s,t)<<'\n';
}
}
return 0;
}
