牛客IOI周赛17-普及组
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牛客IOI周赛17-普及组
C.不平衡数组
题目描述
给定一个长度为 \(n\) 的数组。要求相临的数大小不相同，假如相临数的相同，
你可以通过将 \(a[i]+1\) 来改变它的大小，但是需要付出 \(b[i]\) 的代价，同时对于每
个 \(a[i]\) 只能加一次。问你付出的最小代价。
输入描述:
第 \(1\) 行 \(1\) 个整数 \(n\)，表示数组长度为 \(n\)
接下来 \(n\) 行，每行 \(2\) 个正整数 \(a[i]\) 与 \(b[i]\)，表示 \(a\) 数组中的第 \(i\) 个数，以及将第 \(i\) 个数 \(+1\) 的代价。
对于 \(20\%\) 的数据，保证 \(b[i] = 1\)
对于另外 \(10\%\) 的数据，保证所有 \(a[i]\) 相等
对于另外 \(10\%\) 的数据，保证所有的 \(a[i]\) 不相等
对于 \(100\%\) 的数据，\(1<=n<=2e5，0<=a[i]、b[i]<=1e9\)
输出描述:
\(1\) 行，一个数字 \(ans\)，表示最小代价。
示例1
输入
4
1 2
2 2
2 3
4 1
输出
2
解题思路
dp
- 状态表示：
-
- \(f[i][0]\) 表示前 \(i\) 个数且第 \(i\) 个数不加一的最小代价
-
- \(f[i][1]\) 表示前 \(i\) 个数且第 \(i\) 个数加一的最小代价
- 状态计算：
-
- \(a[i-1]==a[i]\) 时，
-
-
- \(f[i][0]=f[i-1][1]\)
-
-
-
- \(f[i][1]=f[i-1][0]+a[i].se\)
-
-
- \(a[i-1]+1==a[i]\) 时，
-
-
- \(f[i][0]=f[i-1][0]\)
-
-
-
- \(f[i][1]=min(f[i-1][0],f[i-1][1])+b[i]\)
-
-
- \(a[i-1]==a[i+1]+1\) 时，
-
-
- \(f[i][0]=min(f[i-1][0],f[i-1][1])\)
-
-
-
- \(f[i][1]=f[i-1][1]+b[i]\)
-
-
- 其他情况，
-
-
- \(f[i][0]=min(f[i-1][0],f[i-1][1])\)
-
-
-
- \(f[i][1]=min(f[i-1][0],f[i-1][1])+b[i]\)
-
注意：只要存在一种状态能够转移到当前状态则该状态就应该被计算在内
- 时间复杂度：\(O(n)\)
代码
// Problem: 不平衡数组
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33347/C
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=2e5+5;
int n;
LL f[N][2];
PII a[N];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].fi>>a[i].se;
a[0].fi=-2;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(a[i-1].fi==a[i].fi)
{
f[i][0]=f[i-1][1];
f[i][1]=f[i-1][0]+a[i].se;
}
else if(a[i-1].fi+1==a[i].fi)
{
f[i][0]=f[i-1][0];
f[i][1]=min(f[i-1][0],f[i-1][1])+a[i].se;
}
else if(a[i-1].fi==a[i].fi+1)
{
f[i][0]=min(f[i-1][0],f[i-1][1]);
f[i][1]=f[i-1][1]+a[i].se;
}
else
{
f[i][0]=min(f[i-1][0],f[i-1][1]);
f[i][1]=f[i][0]+a[i].se;
}
}
cout<<min(f[n][0],f[n][1]);
return 0;
}
D.数列统计
题目描述
求以\(x\)结尾的长度为\(l\)的不下降正整数数列一共有多少个。对\(911451407\)取模
输入描述:
\(\textbf{本题有多组数据。}\)
第一行一个正整数\(T\)，表示数据组数。
对于每组数据：两个用空格隔开的整数\(l, x\)。
输出描述:
\(T\)行，每行一个答案。
示例1
输入
2
2 1
2 3
输出
1
3
备注:
对于前 \(10 \%\) 的数据, \(T=10 ; l, x \leq 10\)
对于前 \(20 \%\) 的数据, \(T=10 ; l, x \leq 1000\)
对于前 \(40 \%\) 的数据, \(T=10 ; l, x \leq 10^{5}\)
对于 \(100 \%\) 的数据, \(T \leq 10^{5} ; 0<l, x \leq 10^{6}\)
解题思路
组合数
设 \(f[i][j]\) 表示长度为 \(i\) 结尾为 \(j\) 的不下降正整数数列方案数，固定最后一个数，有 \(f[i][j]=\sum_{k=1}^jf[i-1][k\)]，即 \(f[i][j]=f[i-1][j]+\sum_{k=1}^{j-1}f[i-1][k]=f[i-1][j]+f[i][j-1]\)，求解 \(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]\) 问题等价于从 \((1,1)\) 走，只能向下或向右，问走到 \((i,j)\) 的方案数的经典问题，由于向下要走 \(i-1\) 次，向右要走 \(j-1\) 次，即在总的步数 \(i+j-2\) 中选出 \(i-1\) 步用来向下走，即 \(C_{i+j-2}^{i-1}\)
求 \(1\sim n\) 的逆元可以线性递推，求阶乘逆元与求阶乘同理，则：
- 时间复杂度：\(O(2e6+T)\)
代码
// Problem: 数列统计
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33347/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=2e6+5,mod=911451407;
int fact[N],inv_fact[N],inv[N];
void init()
{
fact[0]=fact[1]=inv_fact[0]=inv_fact[1]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%mod;
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
inv_fact[i]=1ll*inv_fact[i-1]*inv[i]%mod;
}
}
int C(int a,int b)
{
return 1ll*fact[a]*inv_fact[a-b]%mod*inv_fact[b]%mod;
}
int main()
{
init();
int t;
for(cin>>t;t;t--)
{
int l,x;
cin>>l>>x;
cout<<C(l+x-2,x-1)<<'\n';
}
return 0;
}
