3424. 最少砝码

你有一架天平。现在你要设计一套砝码，使得利用这些砝码可以称出任意小于等于 \(N\) 的正整数重量。

那么这套砝码最少需要包含多少个砝码？

注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入包含一个正整数 \(N\)。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于所有评测用例，\(1≤N≤10^9\)。

输入样例：

7

输出样例：

3

样例解释

\(3\) 个砝码重量是 \(1、4、6\)，可以称出 \(1\) 至 \(7\) 的所有重量。

1 = 1；
2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；
3 = 4 − 1；
4 = 4；
5 = 6 − 1；
6 = 6；
7 = 1 + 6；

少于 \(3\) 个砝码不可能称出 \(1\) 至 \(7\) 的所有重量。

解题思路

规律，数学，二分

先从最基本的情况考虑：
一个砝码最多称 \(1\sim 1\) 的重量
\(\color{red}{那两个砝码最多称 1\sim ? 的重量？}\)

这时由于添加了一个砝码，考虑添加的砝码重量为 \(x\)，由于上一个砝码称出范围为 \(1\sim 1\)，则考虑新添加的砝码的情况下，此时最少能称出的重量为 \(x-1\)，不用新添加的砝码能够称出 \(1\sim 1\) 的重量了，此时只需要 \(x-1\leq 1+1\)，即 \(x=3\)，加上 \(1\sim 1\)，即最多能称出的重量为 \(4\)，此时 \(1\sim 4\) 的重量都能称出，总的来说，设 \(n\) 个砝码最多能称出 \(a_n\) 的重量，设 \(n+1\) 新增添的砝码重量为 \(x\)，则 \(x-a_n \leq a_n+1\)，由于要求最多，则 \(x=2\times a_n+1\)，加上 \(n\) 个砝码取到的最大值，即 \(n+1\) 个砝码取到的最大值，即 \(a_{n+1}=3\times a_n+1\)，即 \(a_n=\frac{3^n-1}{2}\)，将各个砝码数且满足在要求的重量范围内对应的重量求出，再二分即可

\(10^9\) 以内最多用到的砝码数为 \(19\)，所以：

• 时间复杂度：\(O(1)\)

代码

// Problem: 最少砝码
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/3427/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=30;
LL f[N];
int n,cnt=1;
int main()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;3*f[i-1]+1<=1e9;i++)
    	f[i]=3*f[i-1]+1,cnt++;
    f[++cnt]=2e9;
    cin>>n;
    cout<<(lower_bound(f+1,f+cnt+1,n)-f);
    return 0;
}