3424. 最少砝码

你有一架天平。现在你要设计一套砝码，使得利用这些砝码可以称出任意小于等于 $N$ 的正整数重量。

那么这套砝码最少需要包含多少个砝码？

注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入包含一个正整数 $N$。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于所有评测用例，$1≤N≤10^9$。

输入样例：

7

输出样例：

3

样例解释

$3$ 个砝码重量是 $1、4、6$，可以称出 $1$ 至 $7$ 的所有重量。

1 = 1；
2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；
3 = 4 − 1；
4 = 4；
5 = 6 − 1；
6 = 6；
7 = 1 + 6；

少于 $3$ 个砝码不可能称出 $1$ 至 $7$ 的所有重量。

解题思路

规律，数学，二分

先从最基本的情况考虑：
一个砝码最多称 $1\sim 1$ 的重量
$\color{red}{那两个砝码最多称 1\sim ? 的重量？}$

这时由于添加了一个砝码，考虑添加的砝码重量为 $x$，由于上一个砝码称出范围为 $1\sim 1$，则考虑新添加的砝码的情况下，此时最少能称出的重量为 $x-1$，不用新添加的砝码能够称出 $1\sim 1$ 的重量了，此时只需要 $x-1\leq 1+1$，即 $x=3$，加上 $1\sim 1$，即最多能称出的重量为 $4$，此时 $1\sim 4$ 的重量都能称出，总的来说，设 $n$ 个砝码最多能称出 $a_n$ 的重量，设 $n+1$ 新增添的砝码重量为 $x$，则 $x-a_n \leq a_n+1$，由于要求最多，则 $x=2\times a_n+1$，加上 $n$ 个砝码取到的最大值，即 $n+1$ 个砝码取到的最大值，即 $a_{n+1}=3\times a_n+1$，即 $a_n=\frac{3^n-1}{2}$，将各个砝码数且满足在要求的重量范围内对应的重量求出，再二分即可

$10^9$ 以内最多用到的砝码数为 $19$，所以：

• 时间复杂度：$O(1)$

代码

// Problem: 最少砝码
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/3427/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=30;
LL f[N];
int n,cnt=1;
int main()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;3*f[i-1]+1<=1e9;i++)
    	f[i]=3*f[i-1]+1,cnt++;
    f[++cnt]=2e9;
    cin>>n;
    cout<<(lower_bound(f+1,f+cnt+1,n)-f);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16107864.html
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