D. A Simple Task

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D. A Simple Task

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单图，计算图中有多少个简单环

数据范围

\(1 ≤ n ≤ 19, 0 ≤ m\)

解题思路

状压dp

• 状态表示：\(f[i][j]\) 表示状态为 \(i\) 时，起点为 \(i\) 的最低位，终点为 \(j\) 时的最少环数

• 状态计算：\(f[i|1<<k][k]+=f[i][j]\)，其中 \(j\) 和 \(k\) 之间存在一条边
  分析：当 \(k\) 和起点相等时说明形成了环，统计到答案即可，否则转移到新的状态中去，注意 \(k\) 不能超过最低位的起点，否则会与定义矛盾，之所以这样定义是为了去重，但最后一个环可能是有两个点组成的，且环顺时针和逆时针重复算了

• 时间复杂度：\(O(n^2\times 2^n)\)

代码

// Problem: D. A Simple Task
// Contest: Codeforces - Codeforces Beta Round #11
// URL: https://codeforces.com/contest/11/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=20;
int n,m;
bool a[N][N];
LL f[1<<N][N],res;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int all=1<<n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int x,y;
    	cin>>x>>y;
    	x--,y--;
    	a[x][y]=a[y][x]=true;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)f[1<<i][i]=1;
    for(int i=1;i<=all;i++)
    	for(int j=0;j<n;j++)
    	{
    		if(!f[i][j])continue;
    		for(int k=0;k<n;k++)
    		{
    			if(!a[j][k])continue;
    			if((i&-i)>1<<k)continue;
    			if(i&(1<<k))
    			{
    				if(1<<k==(i&-i))res+=f[i][j];
    			}
    			else
    				f[i|1<<k][k]+=f[i][j];
    		}
    	}
    cout<<(res-m)/2;
    return 0;
}