3157. 取球博弈

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3157. 取球博弈

两个人玩取球的游戏。

一共有 $N$ 个球，每人轮流取球，每次可取集合 ${n_1,n_2,n_3}$ 中的任何一个数目。

如果无法继续取球，则游戏结束。

此时，持有奇数个球的一方获胜。

如果两人都是奇数，则为平局。

假设双方都采用最聪明的取法，第一个取球的人一定能赢吗？

试编程解决这个问题。

输入格式

第一行 $3$ 个正整数 $n_1,n_2,n_3$，空格分开，表示每次可取的数目。

第二行 $5$ 个正整数 $x_1,x_2,…,x_5$，空格分开，表示 $5$ 局的初始球数。

输出格式

一行 $5$ 个字符，空格分开。分别表示每局先取球的人能否获胜。能获胜则输出 +，次之，如有办法逼平对手，输出 0，无论如何都会输，则输出 -。

数据范围

$0<n_1,n_2,n_3<100,$
$0<x_i<1000$

输入样例1：

1 2 3
1 2 3 4 5

输出样例1：

+ 0 + 0 -

输入样例2：

1 4 5
10 11 12 13 15

输出样例2：

0 - 0 + +

输入样例3：

2 3 5
7 8 9 10 11

输出样例3：

+ 0 0 0 0

解题思路

博弈论，记忆化搜索，dp

针对先手来说，

• 状态表示：$f[op][i][j]$ 表示当前轮到先手（$op=0$）/后手（$op=1$）操作，且此时先手有 $i$ 个球，后手有 $j$ 个球的最佳结果，如果先手能赢，则结果为 $1$，否则如果能平，则结果为 $3$，否则为 $2$

然后记忆化搜索，轮到先手时，如果存在一个后继状态使得先手能赢，则当前状态能赢，直接返回，否则如果能平，则最后如果没有赢的状态则尽量平；轮到后手，如果存在一种状态使得先手输，则先手输，直接返回，否则如果能平，则最后如果先手没有输的状态则尽量平，如果连平的状态都没有，则先手必胜

• 时间复杂度：$O(n^2)$

代码

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
#include <tr1/unordered_map>
#include <tr1/unordered_set>

//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
using namespace tr1;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;

template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }

template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1005;
int num[4],n,f[2][N][N];
int dfs(int op,int a,int b)
{
	if(f[op][a][b])return f[op][a][b];
	int mn=min(num[1],min(num[2],num[3]));
	int rest=n-a-b;
	if(rest<mn)
	{
		if(a%2==1&&b%2==0)return f[op][a][b]=1;
		if(b%2==1&&a%2==0)return f[op][a][b]=2;
		return f[op][a][b]=3;
	}
	bool ff=false;
	for(int i=1;i<=3;i++)
	{
		if(op)
		{
			if(num[i]>rest)continue;
			int res=dfs(0,a,b+num[i]);
			if(res==2)return f[op][a][b]=2;
			else if(res==3)ff=true;
		}
		else
		{
			if(num[i]>rest)continue;
			int res=dfs(1,a+num[i],b);
			if(res==1)return f[op][a][b]=1;
			else if(res==3)ff=true;
		}
	}
	if(!f[op][a][b])
	{
		if(ff)return f[op][a][b]=3;
		else if(op)
			return f[op][a][b]=1;
		else
		    return f[op][a][b]=2;
		
	}
	
}
int main()
{
	cin>>num[1]>>num[2]>>num[3];
	for(int i=1;i<=5;i++)
	{
		cin>>n;
		memset(f,0,sizeof f);
		int res=dfs(0,0,0);
		if(res==1)cout<<"+ ";
		else if(res==2)cout<<"- ";
		else
			cout<<"0 ";
	}
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16085806.html
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