C. The Sports Festival

题目链接

C. The Sports Festival

• 对长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 进行重排，设 \(d_{i}=\max _{j=1}^{i} a_{j}-\min _{j=1}^{i} a_{j}\) ，要使 \(\sum_{i=1}^{n} d_{i}\) 最/小；
• \(n \leq 2000,1 \leq a_{i} \leq 10^{9}\) 。

解题思路

贪心，区间dp

可以发现，最后一项不受影响，一定是最大值-最小值，且最后一项一定是最大值或最小值，以最小值为例，如果最小值不是放在最后一项，则其一定放在某个位置处，其前面的数不会受到影响，而后面的数由于最大值不变，最小值减小使得最终整体的答案变大了，最大值同理，所以可以考虑最后一项是放最小值还是最大值，可以现将数组排序，再借助这个贪心策略进行区间dp：

• 状态表示：\(f[i][j]\) 表示区间 \([l,r]\) 内答案的最小值

• 状态计算：\(f[i][j]=min(f[l+1][r],f[[l][r-1])+a[r]-a[l]\)

• 时间复杂度：\(O(n^2)\)

代码

// Problem: C. The Sports Festival
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #715 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1509/problem/C
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}


const int N=2005;
int n,a[N];
LL f[N][N];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int len=2;len<=n;len++)
    	for(int l=1;l+len-1<=n;l++)
    	{
    		int r=l+len-1;
    		f[l][r]=min(f[l+1][r],f[l][r-1])+a[r]-a[l];
    	}
    cout<<f[1][n];
    return 0;
}