2021牛客寒假算法基础集训营6
题目链接
2021牛客寒假算法基础集训营6
F.组合数问题
题目描述
小 \(M\) 很喜欢组合数。
小 \(Z\)给了她一个数 \(\mathrm{n}\) ( \(\mathrm{n}\) 为偶数) ，让她计算 \(\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 4\end{array}\right) . .+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)\) ，小 \(\mathrm{M}\) 一下就秒掉了，觉得题好简单。
因此，小\(Z\)给了她一个难题: 给定一个数 \(\mathrm{n}\) ( \(\mathrm{n}\) 是\(4\)的倍数），计算 \(\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 8\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)\) ，答案对 \(998244353\) 取模。
小 \(M\) 不会做，请你来帮帮她吧!
输入描述:
输入一个数 \(\mathrm{n}\) 。
输出描述:
输出答案对 \(998244353\) 取模的值。
解题思路
数论，复数快速幂
\[\begin{aligned}
&S 1=(1+1)^{n}+(1-1)^{n}=2\left(\left(\begin{array}{l}
n \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n \\
2
\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right)\right) \\
&S 2=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}=2\left(\left(\begin{array}{l}
n \\
0
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}
n \\
2
\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right)\right) \\
&S 1+S 2=4\left(\left(\begin{array}{l}
n \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
n \\
4
\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}
n \\
n
\end{array}\right)\right) \\
&\text { 所以原式 }=\frac{2^{n}+(1+i)^{n}+(1-i)^{n}}{4} \text { ，用复数快速幂即可 }
\end{aligned}
\]
- 时间复杂度：\(O(logn)\)
代码
// Problem: 组合数问题
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/31272/F
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int mod=998244353;
LL n;
struct Complex
{
LL x,y;
Complex(LL _x,LL _y)
{
x=_x,y=_y;
}
};
void mul(Complex &a,Complex b,int p)
{
LL x=((a.x*b.x-a.y*b.y)%p+p)%p;
LL y=((a.x*b.y+a.y*b.x)%p+p)%p;
a={x,y};
}
void add(Complex &a,Complex b,int p)
{
a.x=(a.x+b.x)%p;
a.y=(a.y+b.y)%p;
}
Complex ksm(Complex a,LL b,int p)
{
Complex res(1,0);
while(b)
{
if(b&1)mul(res,a,p);
mul(a,a,p);
b>>=1;
}
return res;
}
int ksm(int a,int b,int p)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)
res=1ll*res*a%p;
a=1ll*a*a%p;
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
cin>>n;
auto res=ksm({2,0},n,mod);
add(res,ksm({1,1},n,mod),mod),add(res,ksm({1,-1},n,mod),mod);
mul(res,ksm({4,0},mod-2,mod),mod);
cout<<res.x;
return 0;
}
G.机器人
题目描述
题目描述
有 \(n\) 个机器人，每个机器人会读入一个 \(x\) ，并返回 \(ax+b\) 。
现在银临姐姐手里有一个数 \(x\) ，她想将机器人按某种顺序排列，使得最终返回得到的 \(x\) 尽可能大。
但是计算量太大啦，请你编个程序帮帮她吧。
输入描述:
第一行读入 \(n,x\) ，接下来 \(n\) 行依次输入 \(a_i, b_i\) 。
输出描述:
输出最大值。
示例1
输入
2 2
11 4
5 14
输出
268
备注:
对于所有的数据，\(1\le n,x,a_i,b_i\le 20\) 。
解题思路
贪心
只考虑两个机器人的话，有这样的顺序：\((a_i,b_i),(a_j,b_j)\)，则有：\(a_j\times(a_ix+b_i)+b_j \geq a_i\times(a_jx+b_j)+b_i\)，即 \(a_ib_j+b_i \leq a_jb_i+b_j\)，对于多个机器人，如果存在相邻两项不满足这样的关系，则交换后会更优，另外注意会爆long long
- 时间复杂度：\(O(nlogn)\)
状压dp
-
状态表示：\(f[i]\) 表示选择状态为 \(i\) 时的最大值
-
状态计算：\(f[j]=max(f[j],f[i]*a[t].fi+a[t].se)\)，可以转移当且仅当 \(j\) 比 \(i\) 在某位 \(t\) 上多一
-
时间复杂度：\(O(n\times 2^n)\)
代码
- 贪心
// Problem: 机器人
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/31272/G
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
template <typename T>
void print(T x) {
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x < 10) putchar(x + 48);
else print(x / 10), putchar(x % 10 + 48);
}
int n;
__int128 x;
PII a[25];
int main()
{
cin>>n;
read(x);
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].fi>>a[i].se;
sort(a+1,a+1+n,[](PII &x,PII &y){return y.se*x.fi+x.se<x.se*y.fi+y.se;});
for(int i=1;i<=n;i++)
x=x*a[i].fi+a[i].se;
print(x);
return 0;
}
- 状压dp
// Problem: 机器人
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9986/G
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
template <typename T>
void print(T x) {
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x < 10) putchar(x + 48);
else print(x / 10), putchar(x % 10 + 48);
}
const int N=1<<21;
__int128 f[N];
int n,x,b[N];
PII a[25];
int main()
{
cin>>n>>x;
f[0]=x;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i].fi>>a[i].se;
for(int i=0;i<=n;i++)b[1<<i]=i;
for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++)
{
int t=i^((1<<n)-1);
while(t)
{
int tt=b[t&-t];
f[i|(t&-t)]=max(f[i|(t&-t)],f[i]*a[tt].fi+a[tt].se);
t-=t&-t;
}
}
print(f[(1<<n)-1]);
return 0;
}
