2021牛客寒假算法基础集训营5

题目链接

2021牛客寒假算法基础集训营5

A.美丽的路径

题目描述

叶妺妺非常喜欢图论题，这天她出了一个图论题，有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，其中第 \(i\) 个点的点权为 \(a_{i}\) ，她定义一 条点数为 \(k\) 路径: \(b_{1}, b_{2} ， \ldots, b_{k}\) ；其中点 \(b_{i-1}\) 与点 \(b_{i}\) 通过一条边直接相连 \((2 \leq i \leq k)\) ，所以路径中可以出现重复 的点。她将一条路径的美丽值定义为：假设这条路径的点数为 \(k\) ，那么这条路径的美丽值就是此路径上的所有点的点 权中第 \([k / 2+1\rfloor\) 小的点权。现在她会询问你是否存在起点为 \(s\) 号点并且终点为 \(t\) 号点的路径，如果存在则先输出 \(Y E S\) ，再输出存在的所有路径中的最大的美丽值；否则直接输出 \(N O\) 。

输入描述:

有多组样例, 第一行输入一个数 \(T\), 表述样例组数
对于每组样例, 第一行先输入四个数 \(n, m, s, t\), 保证 \(1 \leq s \leq n, 1 \leq t \leq n\)
第二行输入 \(n\) 个数, 其中第 \(i\) 个数为 \(a_{i}\), 表示第 \(i\) 个点的点权
接下来输入 \(m\) 行, 第 \(i\) 行输入两个数 \(x_{i}\) 和 \(y_{i}\), 表示点 \(x_{i}\) 与点 \(y_{i}\) 之间有一条无向边, 保证 \(1 \leq x_{i} \leq n, 1 \leq y_{i} \leq\) \(n\)
【数据规模与约定】

\[1 \leq T \leq 10,1 \leq n \leq 2 * 10^{5}, \quad 0 \leq m \leq 2 * 10^{5}, \quad 1 \leq a_{i} \leq 10^{9} \]

输出描述:

如果存在起点为 \(s\) 号点并且终点为 \(t\) 号点的路径, 则第一行输出 \(Y E S\), 第二行输出存在的所有的路径中的最大的 美丽值; 否则直接输出 \(N O\)

示例1

输入

1
5 4 2 4
1 2 3 4 5
1 2
2 3
3 4
4 5

输出

YES
4

解题思路

二分，dfs

二分答案 \(w\)，如果 \(s\) 到 \(t\) 的路径上存在相邻的节点点权都大于或等于 \(w\)，则由于可以在两点之间无限徘徊使得中位数大于等于当前答案，说明答案可能会更大，另外如果存在一条 \(s\) 到 \(t\) 的路径中大于等于 \(w\) 的点的个数不少于少于 \(w\) 的点的个数，也说明答案可能会更大，其他情况说明答案大了

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码

// Problem: 美丽的路径
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/30977/A
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 6000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=2e5+5;
int n,m,s,t,a[N];
bool v[N],vis[N];
vector<int> adj[N];
bool f;
bool ck(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(v[i]&&a[i]>=x)
            for(int j:adj[i])
                if(v[j]&&a[j]>=x)return true;
    return false;
}
void ck1(int x,int s1,int s2,int w)
{
    vis[x]=true;
    if(x==t)
    {
        if(s1>=s2)f=true;
        return ;
    }
    for(int y:adj[x])
    {
        if(vis[y])continue;
        ck1(y,s1+(a[y]>=w),s2+(a[y]<w),w);
    }
}
void dfs(int x)
{
    v[x]=true;
    for(int y:adj[x])
        if(!v[y])dfs(y);
}
int main()
{
    int T;
    for(cin>>T;T;T--)
    {
    	cin>>n>>m>>s>>t;
    	int r=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],r=max(r,a[i]),adj[i].clear();
    	while(m--)
    	{
    		int x,y;
    		cin>>x>>y;
    		adj[x].pb(y),adj[y].pb(x);
    	}
        memset(v,0,sizeof v);
        dfs(s);
        if(!v[t])
        {
            puts("NO");
            continue;
        }
     	int l=0;
    	while(l<r)
    	{
    		int mid=l+r+1>>1;
            f=false;
            for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
            ck1(s,a[s]>=mid,a[s]<mid,mid);
    		if(f||ck(mid))l=mid;
    		else
    			r=mid-1;
    	}
    	puts("YES"),cout<<l<<'\n';
    }
    return 0;
}

D.石子游戏

题目描述

叶妺妺很喜欢玩石头，于是这天泽鸽鸽给她出了一道石子游戏，规则是这样的：有 \(n\) 堆石子排成一行，其中第 \(i\) 堆石子 有 \(a_{i}\) 个，叶妺妺可以选择做无数次这种操作：每次操作把连续相邻的 \(k\) 个石子堆中的每堆石子数目加一，请问叶妺妺 能否让每堆石子的数目都相同呢? 叶妺妺觉得这题太简单了，于是丢给了聪明的你，快来解决这个问题吧!

输入描述:

第一行输入样例组数 \(T\)
对于每组样例来说, 第一行输入两个数 \(n\) 和 \(k\)
第二行输入 \(n\) 个数, 其中第 \(i\) 个数为 \(a_{i}\)
【数据规模与约定】

\[1 \leq T \leq 10,1 \leq n \leq 10^{5}, 1 \leq k \leq n, \quad 0 \leq a_{i} \leq 10^{9} \]

输出描述:

输出总共 \(T\) 行, 对于每组样例来说, 如果能使每堆石子的数目都相同则输出一个整数 \(x, x\) 表示达到相同时的最 少的操作数; 否则输出 \(-1\)

示例1

输入

1
4 3
1 1 1 2

输出

1

解题思路

差分

先求出差分数组，最后的目的即第二项后面的数都为 \(0\)，而每次差分可将一个位于 \(i\) 的数加一，位于 \(i+k\) 的数减一，注意操作不用管第 \(1\) 项以及 \(n+1\) 项，从后往前，可以先把那些正数变为 \(0\)，再从前往后把那些负数变为 \(0\)，最后检查是否满足要求

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
LL n,k,t,a[N],d[N];
LL res;
int main()
{
    for(cin>>t;t;t--)
    {
    	cin>>n>>k;
    	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],d[i]=a[i]-a[i-1];
    	res=0;
    	for(int i=n;i>=2;i--)
    		if(i-k>=1&&d[i]>0)res+=d[i],d[i-k]+=d[i],d[i]=0;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		if(i+k<=n+1&&d[i]<0)res-=d[i],d[i+k]+=d[i],d[i]=0;
    	bool f=false;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		if(d[i])f=true;
    	if(f)puts("-1");
    	else
    		cout<<res<<'\n';
    }
    return 0;
}