P5041 [HAOI2009]求回文串
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P5041 [HAOI2009]求回文串
题目描述
所谓回文串，就是对于给定的字符串，正着读和反着读都一样，比如ABCBA就是一个回文串，ABCAB则不是。我们的目标是对于任意输入的字符串，不断将第i个字符和第i+1个字符交换，使得该串最终变为回文串。求最少交换次数。
输入格式
一个由大写字母字母组成的字符串。
输出格式
若能经过有限次操作能将原串变为回文串，则输出最少操作次数；否则输出-1。
输入输出样例
输入
SHLLZSHZS
输出
4
说明/提示
样例说明
交换 L 和 Z 变成 SHLZLSHZS
交换 L 和 Z 变成 SHZLLSHZS
交换 L 和 S 变成 SHZLSLHZS
交换 H 和 Z 变成 SHZLSLZHS
数据范围
\(40\%\) 的数据， 长度\(\leq50000\)
\(100\%\) 的数据， 长度\(\leq10^6\)
解题思路
贪心，逆序对
贪心策略：每次选择最靠外边的字符作为回文串的一部分
证明（摘自 TsReaper ）：
构造回文串的过程，实际上是每次选择一对字母并把它们交换到字符串头尾的过程。考虑字母 \(x\) 和字母 \(y\) 哪 个先选，分以下情况讨论:
-
字母 \(x\) 和 \(y\) 的位置满足 \(\underbrace{\ldots}_{\text {a个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{b \text { 个字母 }}y \underbrace{\cdots}_{c \text { 个字母 }}y\underbrace{\cdots}_{d \text { 个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{e\text {个字母 }}\) 。如果先把 \(x\) 换到头尾，再把 \(y\) 换到头 尾，那么需要 \((a+e)+(b+d+a+e)\) 次交换；如果先换 \(y\) 再换 \(x\) ，那么需要 \((a+b+1+d+e+1)+(a+e)\) 次交换。显然先换 \(x\) 更优。
-
字母 \(x\) 和 \(y\) 的位置满足\(\underbrace{\ldots}_{\text {a个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{b \text { 个字母 }}y \underbrace{\cdots}_{c \text { 个字母 }}x \underbrace{\cdots}_{d \text { 个字母 }} y \underbrace{\cdots}_{e\text {个字母 }}\) 如果先换 \(x\) 再换 \(y\) ，那么需要 \((a+d+\) \(e+1)+(a+b+e)\) 次交换；如果先换 \(y\) 再换 \(x\) ，那么需要 \((a+b+1+e)+(a+d+e)\) 次交换。先换哪个都一样。
-
字母 \(x\) 和 \(y\) 的位置满足\(\underbrace{\ldots}_{\text {a个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{b \text { 个字母 }}x \underbrace{\cdots}_{c \text { 个字母 }}y\underbrace{\cdots}_{d \text { 个字母 }} y \underbrace{\cdots}_{e\text {个字母 }}\)。如果先交换 \(x\) 再交换 \(y\)，那么需要\((a+c+d+e+2)+(a+b+c+e)\) 次交换；如果先换 \(y\) 再换 \(x\) ，那么需要 \((a+b+c+2+e)+(a+c+d+e)\) 次交换。先换哪个都一样。
上述讨论可以得到结论：每次交换最外边出现的字母不劣。因此贪心解法成立。
据此我们求出这样的数组：\(a[i]\) 表示现在回文串中的第 \(i\) 个字符在原字符串中出现的位置为 \(a[i]\)，即要使该序列有序需要交换相邻项的最少操作次数，即根据冒泡排序，答案即为逆序对个数，可通过树状数组求出 -
时间复杂度：\(O(nlogn)\)
代码
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1e6+5;
string s;
int n,res[N],b[N],c[N];
vector<int> a[26];
bool v[N];
void add(int x,int y)
{
for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;
}
int ask(int x)
{
int res=0;
for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];
return res;
}
int main()
{
cin>>s;
n=s.size();
s=' '+s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
b[i]=s[i]-'A';
a[s[i]-'A'].pb(i);
}
int f=0;
for(int i=0;i<26;i++)
if(a[i].size()&1)f++;
if(n%2==0&&f||n%2==1&&f!=1)puts("-1");
else
{
if(n&1)
{
for(int i=0;i<26;i++)
if(a[i].size()&1)
{
res[n/2+1]=a[i][a[i].size()/2];
v[a[i][a[i].size()/2]]=true;
}
}
int l=1,r=n,pos=1;
while(pos<=n)
{
if(v[pos])
{
pos++;
continue;
}
if(pos>n||l>r)break;
v[pos]=true;
res[l++]=pos++;
int t=a[b[pos-1]][a[b[pos-1]].size()-1];
v[t]=true;
res[r--]=t;
a[b[pos-1]].pop_back();
}
}
LL ret=0;
for(int i=n;i;i--)ret+=ask(res[i]),add(res[i],1);
cout<<ret;
return 0;
}
