P5041 [HAOI2009]求回文串

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P5041 [HAOI2009]求回文串

题目描述

所谓回文串，就是对于给定的字符串，正着读和反着读都一样，比如ABCBA就是一个回文串，ABCAB则不是。我们的目标是对于任意输入的字符串，不断将第i个字符和第i+1个字符交换，使得该串最终变为回文串。求最少交换次数。

输入格式

一个由大写字母字母组成的字符串。

输出格式

若能经过有限次操作能将原串变为回文串，则输出最少操作次数；否则输出-1。

输入输出样例

输入

SHLLZSHZS

输出

4

说明/提示

样例说明

交换 L 和 Z 变成 SHLZLSHZS
交换 L 和 Z 变成 SHZLLSHZS
交换 L 和 S 变成 SHZLSLHZS
交换 H 和 Z 变成 SHZLSLZHS

数据范围

$40\%$ 的数据， 长度$\leq50000$

$100\%$ 的数据， 长度$\leq10^6$

解题思路

贪心，逆序对

贪心策略：每次选择最靠外边的字符作为回文串的一部分
证明（摘自 TsReaper ）：
构造回文串的过程，实际上是每次选择一对字母并把它们交换到字符串头尾的过程。考虑字母 $x$ 和字母 $y$ 哪 个先选，分以下情况讨论:

• 字母 $x$ 和 $y$ 的位置满足 $\underbrace{\ldots}_{\text {a个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{b \text { 个字母 }}y \underbrace{\cdots}_{c \text { 个字母 }}y\underbrace{\cdots}_{d \text { 个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{e\text {个字母 }}$ 。如果先把 $x$ 换到头尾，再把 $y$ 换到头 尾，那么需要 $(a+e)+(b+d+a+e)$ 次交换；如果先换 $y$ 再换 $x$ ，那么需要 $(a+b+1+d+e+1)+(a+e)$ 次交换。显然先换 $x$ 更优。

• 字母 $x$ 和 $y$ 的位置满足$\underbrace{\ldots}_{\text {a个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{b \text { 个字母 }}y \underbrace{\cdots}_{c \text { 个字母 }}x \underbrace{\cdots}_{d \text { 个字母 }} y \underbrace{\cdots}_{e\text {个字母 }}$ 如果先换 $x$ 再换 $y$ ，那么需要 $(a+d+$ $e+1)+(a+b+e)$ 次交换；如果先换 $y$ 再换 $x$ ，那么需要 $(a+b+1+e)+(a+d+e)$ 次交换。先换哪个都一样。

• 字母 $x$ 和 $y$ 的位置满足$\underbrace{\ldots}_{\text {a个字母 }} x \underbrace{\cdots}_{b \text { 个字母 }}x \underbrace{\cdots}_{c \text { 个字母 }}y\underbrace{\cdots}_{d \text { 个字母 }} y \underbrace{\cdots}_{e\text {个字母 }}$。如果先交换 $x$ 再交换 $y$，那么需要$(a+c+d+e+2)+(a+b+c+e)$ 次交换；如果先换 $y$ 再换 $x$ ，那么需要 $(a+b+c+2+e)+(a+c+d+e)$ 次交换。先换哪个都一样。
  上述讨论可以得到结论：每次交换最外边出现的字母不劣。因此贪心解法成立。
  据此我们求出这样的数组：$a[i]$ 表示现在回文串中的第 $i$ 个字符在原字符串中出现的位置为 $a[i]$，即要使该序列有序需要交换相邻项的最少操作次数，即根据冒泡排序，答案即为逆序对个数，可通过树状数组求出

• 时间复杂度：$O(nlogn)$

代码

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e6+5;
string s;
int n,res[N],b[N],c[N];
vector<int> a[26];
bool v[N];
void add(int x,int y)
{
	for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;
}
int ask(int x)
{
	int res=0;
	for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];
	return res;
}
int main()
{
    cin>>s;
	n=s.size();
    s=' '+s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		b[i]=s[i]-'A';
		a[s[i]-'A'].pb(i);
	}
	int f=0;
	for(int i=0;i<26;i++)
		if(a[i].size()&1)f++;
	if(n%2==0&&f||n%2==1&&f!=1)puts("-1");
	else
	{
		if(n&1)
		{
			for(int i=0;i<26;i++)
				if(a[i].size()&1)
				{
					res[n/2+1]=a[i][a[i].size()/2];
					v[a[i][a[i].size()/2]]=true;
				}
		}
		int l=1,r=n,pos=1;
		while(pos<=n)
		{
			if(v[pos])
			{
				pos++;
				continue;
			}
			if(pos>n||l>r)break;
			v[pos]=true;
			res[l++]=pos++;
			int t=a[b[pos-1]][a[b[pos-1]].size()-1];
			v[t]=true;
			res[r--]=t;
			a[b[pos-1]].pop_back();
		}
	}
	LL ret=0;
	for(int i=n;i;i--)ret+=ask(res[i]),add(res[i],1);
	cout<<ret;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16034907.html
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