1077. 皇宫看守
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1077. 皇宫看守
太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。
皇宫各个宫殿的分布，呈一棵树的形状，宫殿可视为树中结点，两个宫殿之间如果存在道路直接相连，则该道路视为树中的一条边。
已知，在一个宫殿镇守的守卫不仅能够观察到本宫殿的状况，还能观察到与该宫殿直接存在道路相连的其他宫殿的状况。
大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。
可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。
帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。
输入格式
输入中数据描述一棵树，描述如下：
第一行 \(n\)，表示树中结点的数目。
第二行至第 \(n+1\) 行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号 \(i\)，在该宫殿安置侍卫所需的经费 \(k\)，该结点的子结点数 \(m\)，接下来 \(m\) 个数，分别是这个结点的 \(m\) 个子结点的标号 \(r_1,r_2,…,r_m\)。
对于一个 \(n\) 个结点的树，结点标号在 \(1\) 到 \(n\) 之间，且标号不重复。
输出格式
输出一个整数，表示最少的经费。
数据范围
\(1≤n≤1500\)
输入样例：
6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0
输出样例：
25
样例解释：
在\(2、3、4\)结点安排护卫，可以观察到全部宫殿，所需经费最少，为 \(16 + 5 + 4 = 25\)。
解题思路
树形dp
-
状态表示：
-
- \(f[i][0]\) 表示未选择节点 \(i\) 且被父节点看到的最小花费
-
- \(f[i][1]\) 表示未选择节点 \(i\) 且被子节点看到的最小花费
-
- \(f[i][2]\) 表示选择节点 \(i\)
-
状态计算：
-
- \(f[i][0]+=min(f[j][1],f[j][2])\)
-
- \(f[i][1]=min(f[j][2]+\sum_{k\neq j}min(f[k][1],f[k][2]))\)
-
- \(f[i][2]+=min({f[j][0],f[j][1],f[j][2]})\)
分析：一个节点被看到无非就三种状态：1.被父节点看到，2.被子节点看到，3.被自己看到，具体分析如下（枚举子节点的情况）：
1.被父节点看到即本身没选择，则子节点要么被自己看到要么被子节点看到
2.被子节点看到，枚举被哪个子节点看到，其他子节点要么被它的子节点或自己看到
3.被自己看到，子节点三种情况都有可能
- \(f[i][2]+=min({f[j][0],f[j][1],f[j][2]})\)
-
时间复杂度：\(O(n)\)
代码
// Problem: 皇宫看守
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1079/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1510;
int n,w[N],f[N][3];//f[i][0]表示选择被父节点看到，f[i][1]表示被子节点看到，f[i][2]表示被自己看到
vector<int> adj[N];
bool v[N];
void dfs(int x)
{
f[x][1]=1e9;
f[x][2]=w[x];
int sum=0;
for(int y:adj[x])
{
dfs(y);
f[x][0]+=min(f[y][1],f[y][2]);
f[x][2]+=min({f[y][0],f[y][1],f[y][2]});
sum+=min(f[y][1],f[y][2]);
}
for(int y:adj[x])f[x][1]=min(f[x][1],f[y][2]+sum-min(f[y][1],f[y][2]));
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x;
cin>>x;
cin>>w[x];
int s;
cin>>s;
while(s--)
{
int y;
cin>>y;
adj[x].pb(y);
v[y]=true;
}
}
int root=1;
while(v[root])root++;
dfs(root);
cout<<min(f[root][1],f[root][2]);
return 0;
}
