1075. 数字转换

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1075. 数字转换

如果一个数 \(x\) 的约数之和 \(y\)（不包括他本身）比他本身小，那么 \(x\) 可以变成 \(y\)，\(y\) 也可以变成 \(x\)。

例如，\(4\) 可以变为 \(3\)，\(1\) 可以变为 \(7\)。

限定所有数字变换在不超过 \(n\) 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

输入格式

输入一个正整数 \(n\)。

输出格式

输出不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

数据范围

\(1≤n≤50000\)

输入样例：

7

输出样例：

3

样例解释

一种方案为：\(4→3→1→7\)。

解题思路

树的直径，dfs

将每一个数当作一个节点，其父节点为其约数之和，因为一个数的约数之和是固定的，即其父节点只有一个，按父节点连向该节点，即一个节点只有一个入度，形成一个森林，然后在每棵树中寻找直径的最大值即可

枚举所有数的约数之和至少需要 \(O(nlogn)\) 的复杂度，则：

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码

// Problem: 数字转换
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/1077/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=50005;
int n,s[N],d[N],res;
vector<int> adj[N];
void dfs(int x,int fa)
{
	for(int y:adj[x])
	{
		if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);
		res=max(res,d[x]+d[y]+1);
		d[x]=max(d[x],d[y]+1);
	}
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=2;j<=n/i;j++)
    		s[i*j]+=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	if(s[i]<i)adj[s[i]].pb(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)dfs(i,0);
    cout<<res;
    return 0;
}