348. 沙漠之王
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348. 沙漠之王
大卫大帝刚刚建立了一个沙漠帝国，为了赢得他的人民的尊重，他决定在全国各地建立渠道，为每个村庄提供水源。
与首都相连的村庄将得到水资源的浇灌。
他希望构建的渠道可以实现单位长度的平均成本降至最低。
换句话说，渠道的总成本和总长度的比值能够达到最小。
他只希望建立必要的渠道，为所有的村庄提供水资源，这意味着每个村庄都有且仅有一条路径连接至首都。
他的工程师对所有村庄的地理位置和高度都做了调查，发现所有渠道必须直接在两个村庄之间水平建造。
由于任意两个村庄的高度均不同，所以每个渠道都需要安装一个垂直的升降机，从而使得水能够上升或下降。
建设渠道的成本只跟升降机的高度有关，换句话说只和渠道连接的两个村庄的高度差有关。
需注意，所有村庄（包括首都）的高度都不同，不同渠道之间不能共享升降机。
输入格式
输入包含多组测试数据。
每组测试数据第一行包含整数 \(N\)，表示村庄（包括首都）的总数目。
接下来 \(N\) 行，每行包含三个整数 \(x，y，z\)，描述一个村庄的地理位置，\((x,y)\) 为该村庄的位置坐标，\(z\) 为该村庄的地理高度。
第一个被描述的村庄即为首都。
当输入一行为 \(0\) 时，表示输入终止。
输出格式
每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
结果为一个保留三位小数的实数，表示渠道的总成本和总长度的比值的最小值。
数据范围
\(2≤N≤1000,\)
\(0≤x,y<10000,\)
\(0≤z≤10000000\)
输入样例：
4
0 0 0
0 1 1
1 1 2
1 0 3
0
输出样例：
1.000
解题思路
01分数规划，最小生成树
求01分数规划的最小值，即 \(\frac{a_1+a_2+\dots+a_{n-1}}{b_1+b_2+\dots+b_{n-1}}\) 的最小值，设其为 \(L\)，假设存在 \(x_i\) 使得 \(\sum a_i-Lb_i\geq 0\)，即 \(L\leq \sum \frac{a_i}{b_i}x_i\)，说明 \(L\) 太小，反之 \(L\) 太大，显然后者出现的情况出现的越多越好，即 \(\sum a_i-Lb_i\) 越小越好，即转化为求最小生成树
- 时间复杂度：\(O(n^2log(2e9))\)
代码
// Problem: 沙漠之王
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/350/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
#define eps 1e-6
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1005;
int n;
double d[N];
bool v[N];
struct A
{
double x,y,h;
}a[N];
double dist(A &a,A &b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool prime(double l)
{
double res=0;
fill(d,d+1+n,1e18);
fill(v,v+1+n,0);
d[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!v[j]&&(x==0||d[x]>d[j]))x=j;
res+=d[x];
v[x]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!v[j]&&d[j]>fabs(a[x].h-a[j].h)-l*dist(a[x],a[j]))
d[j]=fabs(a[x].h-a[j].h)-l*dist(a[x],a[j]);
}
return res>=0;
}
int main()
{
while(cin>>n,n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].h;
double l=0,r=2e9;
while(fabs(l-r)>eps)
{
double mid=(l+r)/2;
if(prime(mid))l=mid;
else
r=mid;
}
printf("%.3lf\n",l);
}
return 0;
}
