524. 愤怒的小鸟

题目链接

524. 愤怒的小鸟

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于 $(0,0)$ 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 $y=a x^{2}+b x$ 的曲线，其中 $a, b$ 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 $a<0$ 。
当小鸟落回地面 (即 $x$ 轴) 时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $n$ 只绿色的小猪，其中第 $i$ 只小猪所在的坐标为 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ 。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ ，那么第 $i$ 只小猪就会被消大无掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续 飞行；
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ ，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 $i$ 只小猪产生任何影响。
例如，若两只小猪分别位于 $(1,3)$ 和 $(3,3)$ ，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 $y=-x^{2}+4 x$ 的小鸟，这 样两只小猪就会被这只小鸟一起消井。
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消大所有的小猪。
这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成 这个这个游戏。
这些指令将在输入格式中详述。
假设这款游戏一共有 $T$ 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消夹所有的 小猪。
由于她不会算，所以希望由你告诉她。
注意:本题除 NOIP 原数据外，还包含加强数据。

输入格式

第一行包含一个正整数 $T$ ，表示游戏的关卡总数。
下面依次输入这 $T$ 个关卡的信息。
每个关卡第一行包含两个非负整数 $n, m$ ，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。
接下来的 $n$ 行中，第 $i$ 行包含两个正实数 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ ，表示第 $i$ 只小猪坐标为 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ ，数据保证同一个关卡中不存 在两只坐标完全相同的小猪。
如果 $m=0$ ，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。
如果 $m=1$ ，则这个关卡将会满足：至多用 $\lceil n / 3+1\rceil$ 只小鸟即可消厈所有小猪。
如果 $m=2$ ，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 $\lfloor n / 3\rfloor$ 只小猪。
保证 $1 \leq n \leq 18,0 \leq m \leq 2,0<x_{i}, y_{i}<10$ ，输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中，符号 $\lceil c\rceil$ 和 $\lfloor c\rfloor$ 分别表示对 $c$ 向上取整和向下取整，例如 :
$\lceil 2.1\rceil=\lceil 2.9\rceil=\lceil 3.0\rceil=\lfloor 3.0\rfloor=\lfloor 3.1\rfloor=\lfloor 3.9\rfloor=3$ 。

输出格式

对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

数据范围

输入样例：

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例：

1
1

解题思路

状压dp

最多只有 $18$ 个小猪，据此考虑抛物线的数量，由 $y=ax^2+bx$ 可知两点确定一条抛物线，所以最多需要 $n^2$ 条抛物线，每两个点预处理出所有合法的抛物线，即 $a<0$ 且为抛物线，两点横坐标不同，这样问题就转化为选出最少的抛物线覆盖所有的点，即重复覆盖问题，这里数量比较少，可用状压dp来做：

• 状态表示：$f[i]$ 表示状态为 $i$ 时还需要的最少抛物线数量

• 状态计算：$f[i|path[x][j]]=min(f[i|path[x][j]],f[i]+1)$，其中 $path[x][j]$ 表示由 $x$ 和 $j$ 两个点形成的抛物线所能覆盖点的状态
  分析：状态 $i|path[x][j]$ 可能是由 $i$ 转移过来的，其中 $x$ 为状态 $i$ 未能覆盖的点

• 时间复杂度：$O(T\times (n^3+n2^n))$

代码

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
#define eps 1e-6
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

typedef pair<double,double> PDD;
const int N=20,M=1<<18;
int n,m,t;
PDD p[N];
int f[M],path[N][N];
int cmp(double a,double b)
{
	if(fabs(a-b)<eps)return 0;
	if(a<b)return 1;
	return -1;
}
int main()
{
    for(cin>>t;t;t--)
    {
    	memset(path,0,sizeof path);
    	cin>>n>>m;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		cin>>p[i].fi>>p[i].se;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		path[i][i]=1<<i-1;
    		double x1=p[i].fi,y1=p[i].se;
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    		{
    			double x2=p[j].fi,y2=p[j].se;
    			if(!cmp(x1,x2))continue;
    			double a=(y1/x1-y2/x2)/(x1-x2),b=(y1-a*x1*x1)/x1;
    			if(cmp(a,0)<=0)continue;
    			int state=0;
    			for(int k=0;k<n;k++)
    			{
    				double x=p[k+1].fi,y=p[k+1].se;
    				if(!cmp(y,a*x*x+b*x))state+=1<<k;
    			}
    			path[i][j]=state;
    		}
    	}
    	memset(f,0x3f,sizeof f);
    	f[0]=0;
    	for(int i=0;i+1<(1<<n);i++)
    	{
    		int x=0;
    		for(int j=0;j<n;j++)
    			if((i>>j&1)==0)
    			{
    				x=j+1;
    				break;
    			}
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    			f[i|path[x][j]]=min(f[i|path[x][j]],f[i]+1);
    	}
    	cout<<f[(1<<n)-1]<<'\n';
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16005472.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！