532. 货币系统
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532. 货币系统
在网友的国度中共有 \(n\) 种不同面额的货币，第 \(i\) 种货币的面额为 \(a[i]\)，你可以假设每一种货币都有无穷多张。
为了方便，我们把货币种数为 \(n\)、面额数组为 \(a[1..n]\) 的货币系统记作 \((n,a)\)。
在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 \(x\) 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 \(x\)，都存在 \(n\) 个非负整数 \(t[i]\) 满足 \(a[i]×t[i]\) 的和为 \(x\)。
然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 \(x\) 不能被该货币系统表示出。
例如在货币系统 \(n=3\), \(a=[2,5,9]\) 中，金额 \(1,3\) 就无法被表示出来。
两个货币系统 \((n,a)\) 和 \((m,b)\) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 \(x\)，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。
他们希望找到一个货币系统 \((m,b)\)，满足 \((m,b)\) 与原来的货币系统 \((n,a)\) 等价，且 \(m\) 尽可能的小。
他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 \(m\)。
输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 \(T\)，表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出 \(T\) 组数据。
每组数据的第一行包含一个正整数 \(n\)。
接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。
输出格式
输出文件共有 \(T\) 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 \((n,a)\) 等价的货币系统 \((m,b)\) 中，最小的 \(m\)。
数据范围
\(1≤n≤100,\)
\(1≤a[i]≤25000,\)
\(1≤T≤20\)
输入样例：
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
输出样例：
2
5
解题思路
数学
即求解最大线性无关组，对于最后选的面额\(b_1,b_2,\dots,b_m\)，且其中没有多余的数，即任何一个 \(b_i\)，不能由其他数系数非负表示出来，而且其一定可以表示 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 中的任何一个数,反之亦然，假设 \(b_i\notin a_1,a_2,\dots,a_n\)，则由题意 \(b_i=t_1\times a_{i1}+t_2\times a_{i2}+\dots +t_k\times a_{ik}\)，其中 \(t_i\) 为正整数，而每个 \(a_i\) 又可以由 \(b_i\) 非负表示，即 \(b_i\) 可由其他 \(b_j\) 表示，则 \(b_i\) 是多余的，矛盾，故 \(b\) 序列是从 \(a\) 序列中选出来的，另外由于大数往往是从小数中组合出来的，所以先排序再筛那些可表示的数
设最大面额为 \(m\)，则：
- 时间复杂度：\(O(t\times n\times m)\)
代码
// Problem: 货币系统
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/534/
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=25005;
int n,a[105],t;
bool f[N];
int main()
{
for(cin>>t;t;t--)
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
sort(a+1,a+1+n);
int mx=a[n],res=0;
memset(f,0,sizeof f);
f[0]=true;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(f[a[i]])continue;
res++;
for(int j=a[i];j<=mx;j++)f[j]|=f[j-a[i]];
}
cout<<res<<'\n';
}
return 0;
}
