532. 货币系统

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532. 货币系统

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]×t[i]$ 的和为 $x$。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 $n=3$, $a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。

接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

数据范围

$1≤n≤100,$
$1≤a[i]≤25000,$
$1≤T≤20$

输入样例：

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 

输出样例：

2
5

解题思路

数学

即求解最大线性无关组，对于最后选的面额$b_1,b_2,\dots,b_m$，且其中没有多余的数，即任何一个 $b_i$，不能由其他数系数非负表示出来，而且其一定可以表示 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 中的任何一个数,反之亦然，假设 $b_i\notin a_1,a_2,\dots,a_n$，则由题意 $b_i=t_1\times a_{i1}+t_2\times a_{i2}+\dots +t_k\times a_{ik}$，其中 $t_i$ 为正整数，而每个 $a_i$ 又可以由 $b_i$ 非负表示，即 $b_i$ 可由其他 $b_j$ 表示，则 $b_i$ 是多余的，矛盾，故 $b$ 序列是从 $a$ 序列中选出来的，另外由于大数往往是从小数中组合出来的，所以先排序再筛那些可表示的数

设最大面额为 $m$，则：

• 时间复杂度：$O(t\times n\times m)$

代码

// Problem: 货币系统
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/534/
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=25005;
int n,a[105],t;
bool f[N];
int main()
{
    for(cin>>t;t;t--)
    {
    	cin>>n;
    	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    	sort(a+1,a+1+n);
    	int mx=a[n],res=0;
    	memset(f,0,sizeof f);
    	f[0]=true;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		if(f[a[i]])continue;
    		res++;
    		for(int j=a[i];j<=mx;j++)f[j]|=f[j-a[i]];
    	}
    	cout<<res<<'\n';
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15957473.html
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