272. 最长公共上升子序列
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272. 最长公共上升子序列
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列 \(A\) 和 \(B\)，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列 \(A\) 和 \(B\) 的长度均不超过 \(3000\)。
输入格式
第一行包含一个整数 \(N\)，表示数列 \(A，B\) 的长度。
第二行包含 \(N\) 个整数，表示数列 \(A\)。
第三行包含 \(N\) 个整数，表示数列 \(B\)。
输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。
数据范围
\(1≤N≤3000\),序列中的数字均不超过 \(2^{31}−1\)。
输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2
解题思路
dp
-
状态表示：\(f[i][j]\) 表示 \(a\) 序列以 \(i\) 结尾，\(b\) 序列的前 \(j\) 个的最长公共上升子序列的长度
-
状态计算：
-
- \(a[i]=b[j]\) 时，\(f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j-1]+1)\)，其中 \(k<i,a[k]<a[i]\)
-
- \(a[i]\neq b[j]\) 时，\(f[i][j]=f[i][j-1]\)
分析：\(a\) 序列以 \(i\) 结尾，当 \(a[i]\neq b[j]\) 时显然有 \(f[i][j]=f[i][j-1]\)，否则为了满足上升的要求，需要寻找 \(i\)前面且 \(a[i]>a[k]\) 的 \(k\)，即 \(f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j-1]+1)\)
- \(a[i]\neq b[j]\) 时，\(f[i][j]=f[i][j-1]\)
-
时间复杂度：\((n^3)\)
-
暴力代码
// Problem: 最长公共上升子序列
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/274/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=3005;
int f[N][N],n,a[N],b[N];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
a[0]=b[0]=-0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i]==b[j])
{
for(int k=0;k<i;k++)
if(a[k]<a[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j-1]+1);
}
else
f[i][j]=f[i][j-1];
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,f[i][n]);
cout<<res;
return 0;
}
考虑优化：
关键在于寻找 \(f[k][j-1]\) 的最大值，其中 \(j-1\) 是固定的，可以将 \(j\) 放在外层循环，记录每层循环 \(a[i]<b[j]\) 时的最大的 \(mx=f[i][j-1]+1\)，当 \(a[i]=b[j]\) 时由于 \(mx\) 是 \(i\) 之前计算过的，且由于 \(j\) 是固定的，所以 \(mx\) 满足上升这个性质，然后直接比较即可
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)
代码
// Problem: 最长公共上升子序列
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/274/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=3005;
int f[N][N],n,a[N],b[N];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int mx=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(a[i]<b[j])mx=max(mx,f[i][j-1]+1);
if(a[i]==b[j])f[i][j]=max(f[i][j],mx);
else
f[i][j]=f[i][j-1];
}
}
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,f[i][n]);
cout<<res;
return 0;
}
