1214. 波动数列

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1214. 波动数列

观察这个数列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。

栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b 的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

共一行，包含四个整数 $n,s,a,b$，含义如前面所述。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。

由于这个数很大，请输出方案数除以 $100000007$ 的余数。

数据范围

$1≤n≤1000,$
$−10^9≤s≤10^9,$
$1≤a,b≤10^6$

输入样例：

4 10 2 3

输出样例：

2

样例解释

两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

解题思路

dp

设初始值为 $x$，$d_i$ 为 $a$ 或 $-b$，则序列和为 $nx+(n-1)d_1+(n-2)d_2+\dots +d_{n-1}=s$，则：$x=\frac{s-((n-1)d_1+(n-2)d_2+\dots +d_{n-1})}{n}$，由于 $x$ 为任意整数，所以 $s\equiv (n-1)d_1+(n-2)d_2+\dots +d_{n-1}\bmod n$，然后进行dp：

• 状态表示：$f[i][j]$ 前 $i$ 个数余数为 $j$ 的方案数

• 状态计算：$f[i][j]=(f[i-1][((j-(n-i)*a)%n+n)%n]+f[i-1][((j+(n-i)*b)%n+n)%n])%mod$
  分析：即第 $i$ 个数选 $a$ 还是 $-b$

• 时间复杂度：$O(n^2)$

代码

// Problem: 波动数列
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1216/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1005,mod=1e8+7;
int a,b,s,n,f[N][N];
int main()
{
	cin>>n>>s>>a>>b;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    	for(int j=0;j<n;j++)
    		f[i][j]=(f[i-1][((j-(n-i)*a)%n+n)%n]+f[i-1][((j+(n-i)*b)%n+n)%n])%mod;
    cout<<f[n-1][(s%n+n)%n];
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15925245.html
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