3494. 国际象棋
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3494. 国际象棋
给一个 \(n\times m\) 大小的棋盘，放 \(k\) 个马，问有多少种方案
输入格式
输入一行包含三个正整数 \(N,M,K\)，分别表示棋盘的行数、列数和马的个数。
输出格式
输出一个整数，表示摆放的方案数除以 \(1000000007\) (即 \(10^9+7\)) 的余数。
数据范围
对于 \(5\%\) 的评测用例，\(K=1\)；
对于另外 \(10\%\) 的评测用例，\(K=2\)；
对于另外 \(10\%\) 的评测用例，\(N=1\)；
对于另外 \(20\%\) 的评测用例，\(N,M≤6，K≤5\)；
对于另外 \(25\%\) 的评测用例，\(N≤3，M≤20，K≤12\)；
对于所有评测用例，\(1≤N≤6，1≤M≤100，1≤K≤20\)。
输入样例1：
1 2 1
输出样例1：
2
输入样例2：
4 4 3
输出样例2：
276
输入样例3：
3 20 12
输出样例3：
914051446
解题思路
状压dp
由于行数比较少，且每一列上的马只与前两列上的马有关，所以可以考虑状压dp：
-
状态表示：\(f[i][p][t][q]\) 表示前 \(i\) 列，前两列包括第 \(i\) 列状态分别为 \(p,t\)，共有 \(q\) 个马时的方案数
-
状态计算：\(f[i][p][t][q]= \sum_{q=cnt}^k f[i-1][t][j][q-cnt]\)，这里 \(j\) 为前前列的状态，\(cnt\) 为 \(p\) 的二进制表示下 \(1\) 的个数
-
时间复杂度：\(O(mk\times 2^{3n})\)
代码
// Problem: 国际象棋
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3497/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=6,mod=1e9+7;
int f[105][1<<6][1<<6][25],n,m,k;
int main()
{
cin>>n>>m>>k;
f[0][0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=0;j<(1<<n);j++)
for(int t=0;t<(1<<n);t++)
if(j&(t>>2)||t&(j>>2))continue;
else
{
for(int p=0;p<(1<<n);p++)
{
if(j&(p>>1)||p&(j>>1)||t&(p>>2)||p&(t>>2))continue;
int cnt=__builtin_popcount(p);
for(int q=cnt;q<=k;q++)
f[i][p][t][q]=(f[i][p][t][q]+f[i-1][t][j][q-cnt])%mod;
}
}
int res=0;
for(int i=0;i<(1<<n);i++)
for(int j=0;j<(1<<n);j++)res=(res+f[m][i][j][k])%mod;
cout<<res;
return 0;
}
