3418. 杨辉三角形

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3418. 杨辉三角形

下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, ...

给定一个正整数 \(N\)，请你输出数列中第一次出现 \(N\) 是在第几个数？

输入格式

输入一个整数 \(N\)。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于 \(20\%\) 的评测用例，\(1≤N≤10\)；
对于所有评测用例，\(1≤N≤10^9\)。

输入样例：

6

输出样例：

13

解题思路

二分

由于杨辉三角是左右对称的，可以将其分为两半：

斜着看，数值递增，可以考虑枚举每个数的开始位置，注意，这里需要逆序遍历，因为第二个斜行一定存在解，且如果逆序前面的数存在解的话一定比前面所有的解都要靠前

• 时间复杂度：\(O(16logn)\)

代码

// Problem: 杨辉三角形
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3421/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

int n;
LL C(int a,int b)
{
	LL res=1;
	for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
	{
		res=res*j/i;
		if(res>n)return res;
	}
	return res;
}
bool ck(LL k)
{
	LL l=2*k,r=max(1ll*n,l);
	while(l<r)
	{
		LL mid=l+r>>1;
		if(C(mid,k)>=n)r=mid;
		else
			l=mid+1;
	}
	if(C(r,k)!=n)return false;
	cout<<r*(r+1)/2+k+1;
	return true;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(LL k=0;k<=16;k++)
    	if(ck(k))break;
    return 0;
}