1234. 倍数问题

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1234. 倍数问题

众所周知，小葱同学擅长计算，尤其擅长计算一个数是否是另外一个数的倍数。

但小葱只擅长两个数的情况，当有很多个数之后就会比较苦恼。

现在小葱给了你 $n$ 个数，希望你从这 $n$ 个数中找到三个数，使得这三个数的和是 $K$ 的倍数，且这个和最大。

数据保证一定有解。

输入格式

第一行包括 $2$ 个正整数 $n, K$ 。

第二行 $n$ 个正整数，代表给定的 $n$ 个数。

输出格式

输出一行一个整数代表所求的和。

数据范围

$1≤n≤10^5,$
$1≤K≤10^3,$
给定的 $n$ 个数均不超过 $10^8$

输入样例：

4 3
1 2 3 4

输出样例：

解题思路

dp，贪心

贪心策略：由于需要找出 $3$ 个和模 $k$ 为 $0$ 的最大数，所以不妨将所有模 $k$ 的余数的所有数提取出来，只需要前 $3$ 就行
这样本质上就是一个背包问题了：

状态表示： $f[i][j][t]$ 表示前 $i$ 个数，选了 $t$ 个数，和模 $k$ 结果为 $j$ 的最大和
状态计算： $f[i][j][t]=max(f[i-1][j][t],f[i-1][(j-a[i]\%k+k)\%k][t-1])$

这里需要优化空间，滚动掉第一维，但需要逆序循环 $t$ ，这样是为了防止 $i$ 层更新后的值影响到本身

时间复杂度： $O(9000\times k)$

代码

// Problem: 倍数问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1236/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

int n,k,f[1005][4];
int main()
{
    cin>>n>>k;
    vector<int> a[k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int x;
    	cin>>x;
    	a[x%k].pb(x);
    }
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;
   	for(int i=0;i<k;i++)
   	{
   		sort(a[i].begin(),a[i].end(),greater<>());
   		for(int j=0;j<3&&j<a[i].size();j++)
   		{
   			int x=a[i][j];
   			for(int t=0;t<k;t++)
   			    for(int u=3;u>=1;u--)f[t][u]=max(f[t][u],f[(t-x%k+k)%k][u-1]+x);
   		}
   	}
    cout<<f[0][3];
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15915735.html
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