1224. 交换瓶子

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1224. 交换瓶子

有 $N$ 个瓶子，编号 $1∼N$，放在架子上。

比如有 $5$ 个瓶子：

2 1 3 5 4

要求每次拿起 $2$ 个瓶子，交换它们的位置。

经过若干次后，使得瓶子的序号为：

1 2 3 4 5

对于这么简单的情况，显然，至少需要交换 $2$ 次就可以复位。

如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$，表示瓶子数量。

第二行包含 $N$ 个整数，表示瓶子目前的排列状况。

输出格式

输出一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。

数据范围

$1≤N≤10000,$

输入样例1：

5
3 1 2 5 4

输出样例1：

3

输入样例2：

5
5 4 3 2 1

输出样例2：

2

解题思路

环，置换群

将 $a_i$ 连向位置为 $a_i$ 上的整数，即 $a_{a_i}$，其构成 $k$ 个环，最后一定是形成 $n$ 个自环，而对于每个环内的整数，交换会增加一个环，交换不同环的两个整数会合并即减少一个环，所以最后至少进行 $n-k$ 次即能形成 $n$ 个自环

贪心

可以想到一个贪心策略：从 $i\in 1\sim n$ 枚举，如果不在对应位置上，则将 $i$ 所在位置和当前数交换，即上述在环内交换两数

• 时间复杂度：$O(n)$

代码

• 贪心

// Problem: 交换瓶子
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/1226/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

int res,n,a[10005],b[10005];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	cin>>a[i];
    	b[a[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	if(a[i]!=i)
    	{
    		res++;
    		swap(a[i],a[b[i]]);
    		b[a[b[i]]]=b[i];
    		b[i]=i;
    	}
    cout<<res;
    return 0;
}

• 置换群

// Problem: 交换瓶子
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/1226/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

int res,n,cnt,a[10005];
bool v[10005];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
    	cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	if(!v[i])
    	{
    		v[i]=true;
    		cnt++;
    		for(int j=a[i];!v[j];j=a[j])v[j]=true;
    	}
    cout<<n-cnt;
    return 0;
}

类似题目

1553. 用 Swap(0, i) 操作进行排序

给定一个 $0∼N−1$ 的随机排列，将其变为升序排列非常简单。

如果只能使用 Swap(0, *) 操作（将数字 $0$ 和另一个数字交换位置），使得序列变成升序排列呢？

例如，给定序列 {4, 0, 2, 1, 3}，我们可以通过下列交换操作，得到升序序列：

Swap(0, 1) => {4, 1, 2, 0, 3}
Swap(0, 3) => {4, 1, 2, 3, 0}
Swap(0, 4) => {0, 1, 2, 3, 4}

现在，请你求出将给定序列按如上交换操作变为升序序列，至少需要多少步操作。

输入格式

第一行包含整数 $N$，表示序列中元素个数。

第二行包含一个 $0∼N−1$ 的随机排列序列。

输出格式

输出所需最少操作步数。

数据范围

1≤N≤10^5$

输入样例：

10
3 5 7 2 6 4 9 0 8 1

输出样例：

9

置换群

和上题类似，不过只能用 $0$ 交换，用 $0$ 去合并其他非自环的环，每次合并需要一次交换操作，假设非 $0$ 自环的个数为 $cnt_1$，环的个数为 $cnt$，则需合并 $cnt-cnt_1-1$ 次，其他消成自环 $n-(1+cnt_1)$ 次，共 $n+cnt-2*cnt_1-2$ 次

代码

// Problem: 用 Swap(0, i) 操作进行排序
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1555/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int a[N],n,cnt,cnt1;
bool v[N];
int main()

{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        if(a[i]!=0&&a[i]==i)cnt1++;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    	if(!v[i])
    	{
    		cnt++;
    		v[i]=true;
    		for(int j=a[i];!v[j];j=a[j])v[j]=true;
    	}
    cout<<n+cnt-2*cnt1-2;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15890100.html
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