1205. 买不到的数目
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题目描述
小明开了一家糖果店。
他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。
糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。
当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。
大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。
输入格式
两个正整数 \(n,m\)，表示每种包装中糖的颗数。
输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数。
数据范围
\(2≤n,m≤1000\)，
保证数据一定有解。
输入样例：
4 7
输出样例：
17
解题思路
结论：如果 \(a,b\) 均是正整数且互质，那么由 \(ax+by,x≥0,y≥0\) 不能凑出的最大数是 \(ab−a−b\)。
裴蜀定理：若a,b是整数,且GCD(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立
假设 \(gcd(n,m)\neq 1\)，则所有约数不为 \(gcd(n,m)\) 的数 \(n,m\) 都无法组合，反之如果 \(gcd(n,m)=1\)，由裴蜀定理：存在整数 \((a,b)\) 使得 \(an+bm=1\)，即 \(atn+btm=t\)，即 \((at-m)n+(bt+n)m=t\)，即可以使两个数平衡直觉上使其都为正整数，然后打表：
最后有如上结论
- 时间复杂度:\(O(1)\)
代码
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%d",n*m-n-m);
return 0;
}
- 打表代码
// Problem: 买不到的数目
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1207/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
int n,m;
int dfs(int n,int m)
{
for(int i=n*m;i;i--)
{
bool f=true;
for(int j=0;j*n<=i;j++)
{
if((i-j*n)%m==0)
{
f=false;
break;
}
}
if(f)return i;
}
}
int main()
{
while(true)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
if(__gcd(n,m)!=1)continue;
printf("%d\n",dfs(n,m));
}
return 0;
}
