1884. COW

1884. COW

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AcWing 1884. COW

奶牛贝茜在她最喜欢的牧场中发现了一块石碑，上面刻有神秘的碑文。

碑文的文字似乎来自一种神秘的古代语言，可看作一个只包含 \(C,O,W\) 三种字符的字符串。

尽管贝茜无法解密该文字，但是她很欣赏 \(C,O,W\) 按顺序构成她最喜欢的单词 \(COW\)。

她想知道 \(COW\) 在碑文中一共出现了多少次。

她不介意 \(C,O,W\) 之间是否存在其他字符，只要这三个字符按正确的顺序出现即可。

她也不介意多个不同的 \(COW\) 是否共享了一些字符。

例如，\(COW\) 在 \(CWOW\) 中只出现一次，在 \(CCOW\) 中出现两次，在 \(CCOOWW\) 中出现八次。

给定碑文中的文字，请帮助贝茜计算 \(COW\) 出现的次数。

输入格式

第一行包含 \(N\)。

第二行包含一个长度为 \(N\) 的字符串，其中只包含字符 \(C,O,W\)。

输出格式

输出给定字符串中 \(COW\) 作为子序列（不一定连续）的出现次数。

数据范围

\(1≤N≤10^5\)

输入样例：

6
COOWWW

输出样例：

6

数位dp

• 状态表示：\(f[i][j]\) 表示子序列的前 \(j\) 个字符在母串的前 \(i\) 个字符中出现的次数

• 状态计算：

• • \(f[i][1]=f[i-1][1]+(s[i]==p[1])\)
• • \(f[i][j]=f[i-1][j]+(s[i]==p[j])*f[i-1][j-1]\)
    分析：1.相当于一个字符在母串中出现的次数，这个比较好理解。2.如果母串的最后一个字符与子序列的最后一个字符不相等，寻找出现次数，则必须在母串最后一个字符为 \(p[j]\) 的位置，此时 \(f[i][j]=f[i-1][j]\)；如果相等，则母串的最后一个字符 \(s[i]\) 对出现次数的贡献为 \(f[i-1][j-1]\)，即子序列 \(p\) 的前 \(j-1\) 个字符出现的次数，此时 \(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]\)，有点类似于组合数

• 时间复杂度：\(O(3\times n)\)

递推

分别按序记录字母 \(C\) 出现的次数，当出现字母 \(O\) 时加上前面 \(C\) 出现的次数即 \(CO\) 出现的总次数，同理可计算出 \(COW\) 出现的总次数

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

• dp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
char s[N];
int n;
long long f[N][3];
int main()
{
    string p=" COW";
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++)
        {
            f[i][1]=f[i-1][1]+(s[i]==p[1]);
            f[i][j]=f[i-1][j]+(s[i]==p[j])*f[i-1][j-1];
        }
    printf("%lld",f[n][3]);
    return 0;
}

• 递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a,b,c;
int n;
char s[100005];
int main()
{
    scanf("%d%s",&n,s);
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(s[i]=='C')a++;
        else if(s[i]=='O')b+=a;
        else
            c+=b;
    printf("%lld",c);
    return 0;
}