矩阵乘法

205. 斐波那契

在斐波那契数列中，$Fib_0=0,Fib_1=1,Fib_n=Fib_{n−1}+Fib_{n−2}(n>1)$。

给定整数 $n$，求 $Fib_n \,mod\,10000$。

输入格式

输入包含多组测试用例。

每个测试用例占一行，包含一个整数 $n$。

当输入用例 $n=−1$ 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式

每个测试用例输出一个整数表示结果。

每个结果占一行。

数据范围

$0≤n≤2×10^9$

输入样例：

0
9
999999999
1000000000
-1

输出样例：

0
34
626
6875

解题思路

矩阵乘法

首先有：$Fib_n=Fib_{n-1}+Fib_{n-2}$，设 $f(n)=[Fib_n,fib_{n+1}]$，$f(n-1)=[Fib_{n-1},fib_n]$，寻找两者之间的关系：
$[Fib_n,fib_{n+1}]=[Fib_{n-1},fib_n] \times$
设 $A$=，有 $f(n)=f(n-1)\times A$，递推得：$f(n)=f(0)\times A^n$，其中 $f(0)=[0,1]$，配合快速幂便可解决此题~

• 时间复杂度：$O(2^3\times logn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=10000;
int n;
void mul(int f[],int a[][2])
{
    int c[2];
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            c[i]=(c[i]+f[j]*a[j][i])%mod;
    memcpy(f,c,sizeof f);
}
void mulself(int a[][2])
{
    int c[2][2];
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            for(int k=0;k<2;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%mod;
    memcpy(a,c,sizeof c);
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n),n!=-1)
    {
        int f[2]={0,1},a[2][2]={{0,1},{1,1}};
        for(;n;n>>=1)
        {
            if(n&1)mul(f,a);
            mulself(a);
        }
        printf("%d\n",f[0]);
    }
    return 0;
}

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本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15561254.html
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