高维前缀和（差分）（sosdp）

高维前缀和

• 二维前缀和：$s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1]$
• 三位前缀和：$s[i][j][k]=s[i-1][j][k]+s[i][j-1][k]+s[i][j][k-1]-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k-1]$
  $\dots$
  设空间的维度为 $k$，则：
• 时间复杂度：$O(|高维空间容量|\times 2^k)$
  另外一种求解方式：
• 二维：

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]+=a[i-1][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]+=a[i][j-1];

• 三维：

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i-1][j][k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];

$\dots$

• 时间复杂度：$O(|高维空间容量|\times k)$

高维差分

• 二维差分
  在子矩阵（$(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 分别为子矩阵左上角和右下角下标）中加上一个数 $k$，先差分：$s[x_1][y+1]+=k,s[x_2+1][y_1]-=k,s[x_1][y_2+1]-=k,s[x_2+1][y_2+1]+=k$，再取前缀和
• 三维差分

二进制表示
000	$s[x_1][y_1][z_1]+=k$
001	$s[x_1][y_1][z_2+1]-=k$
010	$s[x_1][y_2+1][z_1]-=k$
011	$s[x_1][y_2+1][z_2+1]+=k$
100	$s[x_2+1][y_1][z_1]-=k$
101	$s[x_2+1][y_1][z_2+1]+=k$
110	$s[x_2+1][y_2+1][z_1]+=k$
111	$s[x_2+1][y_2+1][z_2+1]-=k$

$\dots$

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15553248.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！