高维前缀和（差分）（sosdp）

高维前缀和

• 二维前缀和：\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1]\)
• 三位前缀和：\(s[i][j][k]=s[i-1][j][k]+s[i][j-1][k]+s[i][j][k-1]-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k-1]\)
  \(\dots\)
  设空间的维度为 \(k\)，则：
• 时间复杂度：\(O(|高维空间容量|\times 2^k)\)
  另外一种求解方式：
• 二维：

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]+=a[i-1][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]+=a[i][j-1];

• 三维：

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i-1][j][k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];

\(\dots\)

• 时间复杂度：\(O(|高维空间容量|\times k)\)

高维差分

• 二维差分
  在子矩阵（\((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 分别为子矩阵左上角和右下角下标）中加上一个数 \(k\)，先差分：\(s[x_1][y+1]+=k,s[x_2+1][y_1]-=k,s[x_1][y_2+1]-=k,s[x_2+1][y_2+1]+=k\)，再取前缀和
• 三维差分

二进制表示
000	\(s[x_1][y_1][z_1]+=k\)
001	\(s[x_1][y_1][z_2+1]-=k\)
010	\(s[x_1][y_2+1][z_1]-=k\)
011	\(s[x_1][y_2+1][z_2+1]+=k\)
100	\(s[x_2+1][y_1][z_1]-=k\)
101	\(s[x_2+1][y_1][z_2+1]+=k\)
110	\(s[x_2+1][y_2+1][z_1]+=k\)
111	\(s[x_2+1][y_2+1][z_2+1]-=k\)

\(\dots\)