组合数
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885. 求组合数 I
886. 求组合数 II
887. 求组合数 III同P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理
888. 求组合数 IV
885. 求组合数 I
给定 \(n\) 组询问，每组询问给定两个整数 \(a，b\)，请你输出 \(C_a^b\bmod(10^9+7)\) 的值。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一组 \(a\) 和 \(b\)。
输出格式
共 \(n\) 行，每行输出一个询问的解。
数据范围
\(1≤n≤10000\),
\(1≤b≤a≤2000\)
输入样例：
3
3 1
5 3
2 2
输出样例：
3
10
1
\(C_i^j=C_{i-1}^{j}+C_{i-1}^{j-1}\)
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int c[2005][2005];
void init()
{
for(int i=0;i<=2000;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
if(!j)c[i][j]=1;
else
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
int main()
{
init();
int n,a,b;
for(scanf("%d",&n);n;n--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",c[a][b]);
}
return 0;
}
886. 求组合数 II
给定 \(n\) 组询问，每组询问给定两个整数 \(a，b\)，请你输出 \(C_a^b \bmod(10^9+7)\) 的值。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一组 \(a\) 和 \(b\)。
输出格式
共 \(n\) 行，每行输出一个询问的解。
数据范围
\(1≤n≤10000\),
\(1≤b≤a≤10^5\)
输入样例：
3
3 1
5 3
2 2
输出样例：
3
10
1
\(C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}\)
- 时间复杂度：\(O(nlog(mod))\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,a,b;
int fac[100005],inv_fac[100005];
int ksm(int a,int b)
{
int res=1%mod;
for(;b;b>>=1)
{
if(b&1)res=1ll*res*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
}
return res;
}
void init()
{
fac[0]=inv_fac[0]=1;
for(int i=1;i<=100000;i++)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod,inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
}
int main()
{
init();
for(scanf("%d",&n);n;n--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",1ll*fac[a]*inv_fac[b]%mod*inv_fac[a-b]%mod);
}
return 0;
}
887. 求组合数 III
给定 \(n\) 组询问，每组询问给定三个整数 \(a,b,p\)，其中 \(p\) 是质数，请你输出 \(C_a^b \bmod p\) 的值。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一组 \(a,b,p\)。
输出格式
共 \(n\) 行，每行输出一个询问的解。
数据范围
\(1≤n≤20\),
\(1≤b≤a≤10^{18}\),
\(1≤p≤10^5\),
输入样例：
3
5 3 7
3 1 5
6 4 13
输出样例：
3
3
2
- 时间复杂度：\(O(T\times b\times log_pa\times log(mod))\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
int p,n;
LL a,b;
int ksm(int a,int b,int p)
{
int res=1%p;
for(;b;b>>=1)
{
if(b&1)res=1ll*res*a%p;
a=1ll*a*a%p;
}
return res;
}
inline int C(int a,int b,int p)
{
int res=1;
for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
{
res=1ll*res*j%p;
res=1ll*res*ksm(i,p-2,p)%p;
}
return res;
}
inline int lucas(LL a,LL b,int p)
{
if(a<p&&b<p)return C(a,b,p);
return 1ll*C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p)%p;
}
int main()
{
for(scanf("%d",&n);n;n--)
{
scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&p);
printf("%d\n",lucas(a,b,p));
}
return 0;
}
888. 求组合数 IV
输入 \(a,b\)，求 \(C_b^a\) 的值。
注意结果可能很大，需要使用高精度计算。
输入格式
共一行，包含两个整数 \(a\) 和 \(b\)。
输出格式
共一行，输出 \(C_b^a\) 的值。
数据范围
\(1≤b≤a≤5000\)
输入样例：
5 3
输出样例：
10
高精度乘法，阶乘分解
设素数个数为 \(n\)，每个素数平均出现次数为 \(m\)，高精度乘法复杂度 \(O(t)\)
- 时间复杂度：\(O(nmt)\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b;
int m,prime[5005],sum[1000];
int v[5005];
void primes(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!v[i])
{
v[i]=i;
prime[++m]=i;
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(v[i]<prime[j]||i*prime[j]>n)break;
v[i*prime[j]]=prime[j];
}
}
}
inline vector<int> mul(vector<int> A,int b)
{
vector<int> C;
int t=0;
for(int i=0;i<A.size()||t;i++)
{
if(i<A.size())t+=A[i]*b;
C.push_back(t%10);
t/=10;
}
return C;
}
inline int get(int x,int p)
{
int res=0;
while(x)res+=x/p,x/=p;
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&a,&b);
primes(a);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int p=prime[i];
sum[i]=get(a,p)-get(b,p)-get(a-b,p);
}
vector<int> res(1,1);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=0;j<sum[i];j++)
res=mul(res,prime[i]);
for(int i=res.size()-1;~i;i--)
printf("%d",res[i]);
return 0;
}
