阶乘分解

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acwing197. 阶乘分解

题目描述

给定整数 \(N\)，试把阶乘 \(N!\) 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 \(p_i\) 和 \(c_i\) 即可。

输入格式

一个整数 \(N\)。

输出格式

\(N!\) 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 \(p_i,c_i\)，表示含有 \({p_i}^{c_i}\) 项。按照 \(p_i\) 从小到大的顺序输出。

数据范围

\(1≤N≤10^6\)

输入样例：

5

输出样例：

2 3
3 1
5 1

样例解释

\(5!=120=23∗3∗5\)

解题思路

\(n!\) 中质因数 \(p\) 的个数至少有 \(\frac{n}{p}\) 个，\(p^2\) 的个数至少有 \(\frac{n}{p^2}\)个，\(\dots\)
其中，\(p^2\) 中质因子的个数在 \(p\) 中也算过一次，累加即可~
故 \(n!\) 中质因子的个数：

\[\frac{n}{p}+\frac{n}{p^2}+\dots+\frac{n}{p^{log_pn}} \]

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int prime[1000000];
int v[1000005];
int m,n;
void primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(v[i]<prime[j]||i*prime[j]>n)break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    primes(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int p=prime[i],c=0,t=n;
        while(t>=p)c+=t/p,t/=p;
        printf("%d %d\n",p,c);
    }
    return 0;
}