二叉查找树(平衡树)
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P3369 【模板】普通平衡树
P6136 【模板】普通平衡树（数据加强版）
P3369 【模板】普通平衡树
题目描述
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
插入 \(x\) 数
删除 \(x\) 数(若有多个相同的数，因只删除一个)
查询 \(x\) 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 \(+1\) )
查询排名为 \(x\) 的数
求 \(x\) 的前驱(前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数)
求 \(x\) 的后继(后继定义为大于 \(x\)，且最小的数)
输入格式
第一行为 \(n\)，表示操作的个数,下面 \(n\) 行每行有两个数 \(\text{opt}\) 和 \(x\)，\(\text{opt}\) 表示操作的序号\(( 1 \leq \text{opt} \leq 6 )\)
输出格式
对于操作 \(3,4,5,6\) 每行输出一个数，表示对应答案
输入
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598
输出
106465
84185
492737
说明/提示
【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n \le 10^5\) ，\(|x| \le 10^7\)
解题思路
vector
设 \(n\) 为操作次数，\(m\) 为vector平均长度
- 时间复杂度：\(nlogm\)
替罪羊树
作为一种无旋的平衡树，其重点在于不平衡时暴力重构，同时由于删除时不方便真正删除，所以对于每一个节点都要设置一个变量判断其是否已经删除，每个节点当前所有节点的数量以及真正存在的节点数量，暴力重构主要用于两方面：插入节点时由于以某个节点为根的子树的没有达到平衡要求，即两边较大的子树的大小超过整棵子树大小的某一个量级，这时需要将这整棵子树暴力重构，即类似线段树的建树过程将整棵树不改变中序遍历的情况下重建；对于整棵树来说，删除节点时如果已经删除的节点超过实际存在的节点数量的某个量级，即已删除的虚拟节点过多，这时也需要重构
- 每次操作的均摊复杂度：\(O(logn)\)
代码
- vector
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> a;
int main()
{
int op,x,t;
for(scanf("%d",&t);t;t--)
{
scanf("%d%d",&op,&x);
if(op==1)a.insert(upper_bound(a.begin(),a.end(),x),x);
else if(op==2)
a.erase(lower_bound(a.begin(),a.end(),x));
else if(op==3)
printf("%d\n",lower_bound(a.begin(),a.end(),x)-a.begin()+1);
else if(op==4)
printf("%d\n",a[x-1]);
else if(op==5)
printf("%d\n",*--lower_bound(a.begin(),a.end(),x));
else
printf("%d\n",*upper_bound(a.begin(),a.end(),x));
}
return 0;
}
- 替罪羊树
// Problem: P3369 【模板】普通平衡树
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3369
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1e5+5;
int t,a[N],cnt;
int root,mempool[N],top;
struct Tr
{
int s[2],v,tot,sz;
bool del;
}tr[N];
double alpha=0.7;
void inorder(int x)
{
if(!x)return ;
inorder(tr[x].s[0]);
if(tr[x].del)a[++cnt]=x;
else
mempool[++top]=x;
inorder(tr[x].s[1]);
}
void pushup(int x)
{
tr[x].tot=tr[tr[x].s[0]].tot+tr[tr[x].s[1]].tot+1;
tr[x].sz=tr[tr[x].s[0]].sz+tr[tr[x].s[1]].sz+1;
}
void init(int x)
{
tr[x].s[0]=tr[x].s[1]=0;
tr[x].sz=tr[x].tot=tr[x].del=1;
}
void build(int &x,int l,int r)
{
int mid=l+r>>1;
x=a[mid];
if(l==r)
{
init(x);
return ;
}
if(l<mid)build(tr[x].s[0],l,mid-1);
if(l==mid)tr[x].s[0]=0;
build(tr[x].s[1],mid+1,r);
pushup(x);
}
void rebuild(int &x)
{
cnt=0;
inorder(x);
if(cnt)build(x,1,cnt);
else
x=0;
}
bool notbalance(int x)
{
return alpha*tr[x].sz<=(double)max(tr[tr[x].s[0]].sz,tr[tr[x].s[1]].sz);
}
void ins(int &x,int v)
{
if(!x)
{
x=mempool[top--];
tr[x].v=v;
init(x);
return ;
}
tr[x].sz++,tr[x].tot++;
if(tr[x].v>=v)ins(tr[x].s[0],v);
else
ins(tr[x].s[1],v);
if(notbalance(x))rebuild(x);
}
int rk(int x,int y)
{
if(!x)return 0;
if(y>tr[x].v)return tr[tr[x].s[0]].sz+tr[x].del+rk(tr[x].s[1],y);
return rk(tr[x].s[0],y);
}
int kth(int k)
{
int x=root;
while(x)
if(tr[x].del&&tr[tr[x].s[0]].sz+1==k)return tr[x].v;
else if(tr[tr[x].s[0]].sz>=k)x=tr[x].s[0];
else
k-=tr[tr[x].s[0]].sz+tr[x].del,x=tr[x].s[1];
return tr[x].v;
}
void del_k(int &x,int k)
{
tr[x].sz--;
if(tr[x].del&&tr[tr[x].s[0]].sz+1==k)
{
tr[x].del=0;
return ;
}
if(tr[tr[x].s[0]].sz+tr[x].del>=k)del_k(tr[x].s[0],k);
else
del_k(tr[x].s[1],k-tr[tr[x].s[0]].sz-tr[x].del);
}
void del(int x)
{
del_k(root,rk(root,x)+1);
if(alpha*tr[root].tot>=tr[root].sz)rebuild(root);
}
int main()
{
for(int i=N-1;i;i--)mempool[++top]=i;
for(scanf("%d",&t);t;t--)
{
int op,x;
scanf("%d%d",&op,&x);
if(op==1)
ins(root,x);
else if(op==2)
del(x);
else if(op==3)
printf("%d\n",rk(root,x)+1);
else if(op==4)
printf("%d\n",kth(x));
else if(op==5)
printf("%d\n",kth(rk(root,x)));
else
printf("%d\n",kth(rk(root,x+1)+1));
}
return 0;
}
