树状数组、线段树

题目链接

P3374 【模板】树状数组 1
P3368 【模板】树状数组 2
P3372 【模板】线段树 1
P3373 【模板】线段树 2
P6242 【模板】线段树 3

P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 $x$
求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$ ，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 $x$ 个数加上 $k$
2 x y 含义：输出区间 $[x,y]$ 内每个数的和

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

输入

输出

14
16

说明/提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据， $1 \le n \le 8，1\le m \le 10$ ；
对于 $70\%$ 的数据， $1\le n,m \le 10^4$ ；
对于 $100\%$ 的数据， $1\le n,m \le 5\times 10^5$ 。

时间复杂度： $O(logn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=5e5+10;
int n,m;
int a[N],c[N],s[N];
LL ask(int x)
{
    LL res=0;
    for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];
    return res;
}
void add(int x,int y)
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        s[i]=s[i-1]+x;
    }
    while(m--)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(x==1)add(y,z);
        else
            printf("%lld\n",s[z]-s[y-1]+ask(z)-ask(y-1));
    }
    return 0;
}

P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数加上 $x$ ；
求出某一个数的值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N、M$ ，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $N$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $M$ 行每行包含 $2$ 或 $4$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$ ：格式：1 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$ ；

操作 $2$ ：格式：2 x 含义：输出第 $x$ 个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

输入

输出

6
10

说明/提示

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据： $N\le8,M\le10$ ；

对于 $70\%$ 的数据： $N\le 10000,M\le10000$ ；

对于 $100\%$ 的数据： $1 \leq N, M\le 500000，1 \leq x, y \leq n$ ，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 $2^{30}$ 。

时间复杂度： $O(mlogn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=5e5+10;
int n,m;
int a[N],c[N];
LL ask(int x)
{
    LL res=0;
    for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];
    return res;
}
void add(int x,int y)
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    while(m--)
    {
        int op,x,y,k;
        scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op==1)
        {
            scanf("%d%d",&y,&k);
            add(x,k);
            add(y+1,-k);
        }
        else
            printf("%lld\n",a[x]+ask(x));
    }
    return 0;
}

P3372 【模板】线段树 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数加上 $k$ 。
求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n, m$ ，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 或 $4$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x y k：将区间 $[x, y]$ 内每个数加上 $k$ 。
2 x y：输出区间 $[x, y]$ 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

输入

输出

11
8
20

说明/提示

对于 $30\%$ 的数据： $n \le 8，m \le 10$ 。
对于 $70\%$ 的数据： $n \le {10}^3 ，m \le {10}^4$ 。
对于 $100\%$ 的数据： $1 \le n, m \le {10}^5$ 。

保证任意时刻数列中任意元素的和在 $[u-2^{63}, 2^{63})$ 内。

树状数组

解法
我们不妨用树状数组维护前缀和， $\sum_{i=1}^xc[i]$ 就是 $a[x]$ 增加的值，而序列 $a$ 的前缀和 $a[1\sim x]$ 增加的值为：

\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{i} c [j] \Leftrightarrow \sum_{i = 1}^{x} (x - i + 1) \times c [i] \Leftrightarrow (x + 1) \sum_{i = 1}^{x} c [i] - \sum_{i = 1}^{x} i \times c [i]

$\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^ic[j]\Leftrightarrow \sum_{i=1}^x(x-i+1)\times c[i]\Leftrightarrow (x+1)\sum_{i=1}^xc[i]-\sum_{i=1}^x i\times c[i]$

时间复杂度： $O(mlogn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
using LL=long long;
LL c[2][N],s[N];
int n,m;
LL ask(int x,int k)
{
    LL res=0;
    for(;x;x-=x&-x)res+=c[k][x];
    return res;
}
void add(int x,int y,int k)
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)c[k][x]+=y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    LL x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&x);
        s[i]=s[i-1]+x;
    }
    while(m--)
    {
        int op,x,y;
        LL k;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1)
        {
            scanf("%lld",&k);
            add(x,k,0);
            add(y+1,-k,0);
            add(x,x*k,1);
            add(y+1,-(y+1)*k,1);
        }
        else
        {
            LL res=s[y]-s[x-1];
            res+=(y+1)*ask(y,0)-ask(y,1)-(x*ask(x-1,0)-ask(x-1,1));
            printf("%lld\n",res);
        }
    }
    return 0;
}

线段树(懒标记)

时间复杂度： $O(mlogn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
using LL=long long;
struct seg
{
    int l,r;
    LL sum,add;
    #define l(x) tr[x].l
    #define r(x) tr[x].r
    #define sum(x) tr[x].sum
    #define add(x) tr[x].add
}tr[N*4];
int n,m;
int a[N];
void build(int p,int l,int r)
{
    l(p)=l,r(p)=r;
    if(l==r)sum(p)=a[l];
    else
    {
        int mid=l+r>>1;
        build(p*2,l,mid),build(p*2+1,mid+1,r);
        sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1);
    }
}
void spread(int p)
{
    if(add(p))
    {
        sum(p*2)+=add(p)*(r(p*2)-l(p*2)+1);
        sum(p*2+1)+=add(p)*(r(p*2+1)-l(p*2+1)+1);
        add(p*2)+=add(p);
        add(p*2+1)+=add(p);
        add(p)=0;
    }
}
void change(int p,int l,int r,int d)
{
    if(l<=l(p)&&r(p)<=r)
    {
        sum(p)+=1ll*d*(r(p)-l(p)+1);
        add(p)+=d;
        return ;
    }
    spread(p);
    int mid=l(p)+r(p)>>1;
    if(l<=mid)change(p*2,l,r,d);
    if(r>mid)change(p*2+1,l,r,d);
    sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1);
}
LL ask(int p,int l,int r)
{
    if(l<=l(p)&&r(p)<=r)
        return sum(p);
    spread(p);
    LL res=0;
    int mid=l(p)+r(p)>>1;
    if(l<=mid)res+=ask(p*2,l,r);
    if(r>mid)res+=ask(p*2+1,l,r);
    return res;

}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        int op,x,y;
        LL k;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1)
        {
            scanf("%lld",&k);
            change(1,x,y,k);
        }
        else
            printf("%lld\n",ask(1,x,y));
    }
    return 0;
}

P3373 【模板】线段树 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面三种操作：

将某区间每一个数乘上 $x$
将某区间每一个数加上 $x$
求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,p$ ，分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含若干个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$ ：格式：1 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数乘上 $k$

操作 $2$ ：格式：2 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$

操作 $3$ ：格式：3 x y 含义：输出区间 $[x,y]$ 内每个数的和对 $p$ 取模所得的结果

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $3$ 的结果。

输入

输出

17
2

说明/提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据： $n \le 8，m \le 10$
对于 $70\%$ 的数据： $n \le 10^3 ，m \le 10^4$
对于 $100\%$ 的数据： $n \le 10^5，m \le 10^5$

除样例外， $p = 571373$

解题思路

本题的关键在于加法和乘法的顺序问题：

加法优先级低，不会对前面的操作有影响
乘法优先级高，对前面的操作有影响，有三种影响： $sum$ 、懒标记 $mul$ 和 $add$ 。

所以，采取先乘后加的方式

时间复杂度： $O(mlogn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
using LL=long long;
struct seg
{
    int l,r;
    LL sum,add,mul;
    #define l(x) tr[x].l
    #define r(x) tr[x].r
    #define add(x) tr[x].add
    #define mul(x) tr[x].mul
    #define sum(x) tr[x].sum
}tr[N*4];
int n,m,mod;
int a[N];
void build(int p,int l,int r)
{
    l(p)=l,r(p)=r;
    mul(p)=1;
    if(l==r)
    {
        sum(p)=a[l]%mod;
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(p*2,l,mid),build(p*2+1,mid+1,r);
    sum(p)=(sum(p*2)+sum(p*2+1))%mod;
}
void spread(int p)
{
    sum(p*2)=(sum(p*2)*mul(p)+add(p)*(r(p*2)-l(p*2)+1))%mod;
    sum(p*2+1)=(sum(p*2+1)*mul(p)+add(p)*(r(p*2+1)-l(p*2+1)+1))%mod;
    add(p*2)=(add(p*2)*mul(p)+add(p))%mod;
    add(p*2+1)=(add(p*2+1)*mul(p)+add(p))%mod;
    mul(p*2)=mul(p*2)*mul(p)%mod;
    mul(p*2+1)=mul(p*2+1)*mul(p)%mod;
    add(p)=0;
    mul(p)=1;
}
void change1(int p,int l,int r,int d)
{
    if(l<=l(p)&&r(p)<=r)
    {
        add(p)=add(p)*d%mod;
        mul(p)=mul(p)*d%mod;
        sum(p)=(sum(p)*d)%mod;
        return ;
    }
    spread(p);
    int mid=l(p)+r(p)>>1;
    if(l<=mid)change1(p*2,l,r,d);
    if(r>mid)change1(p*2+1,l,r,d);
    sum(p)=(sum(p*2)+sum(p*2+1))%mod;
}
void change2(int p,int l,int r,int d)
{
    if(l<=l(p)&&r(p)<=r)
    {
        add(p)=(add(p)+d)%mod;
        sum(p)=(sum(p)+(r(p)-l(p)+1)*d)%mod;
        return ;
    }
    spread(p);
    int mid=l(p)+r(p)>>1;
    if(l<=mid)change2(p*2,l,r,d);
    if(r>mid)change2(p*2+1,l,r,d);
    sum(p)=(sum(p*2)+sum(p*2+1))%mod;
}
int ask(int p,int l,int r)
{
    if(l<=l(p)&&r(p)<=r)return sum(p);
    spread(p);
    int res=0;
    int mid=l(p)+r(p)>>1;
    if(l<=mid)res+=ask(p*2,l,r)%mod;
    if(r>mid)res+=ask(p*2+1,l,r);
    return res%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        int op,x,y,k;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1)
        {
            scanf("%d",&k);
            change1(1,x,y,k);
        }
        else if(op==2)
        {
            scanf("%d",&k);
            change2(1,x,y,k);
        }
        else
            printf("%d\n",ask(1,x,y));
    }
    return 0;
}

P6242 【模板】线段树 3

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的数列 $A$ ，同时定义一个辅助数组 $B$ ， $B$ 开始与 $A$ 完全相同。接下来进行了 $m$ 次操作，操作有五种类型，按以下格式给出：

1 l r k：对于所有的 $i\in[l,r]$ ]，将 $A_i$ 加上 $k$ （ $k$ 可以为负数）。
2 l r v：对于所有的 $i\in[l,r]$ ，将 $A_i$ 变成 $\min(A_i,v)$ 。
3 l r：求 $\sum_{i=l}^{r}A_i$ 。
4 l r：对于所有的 $i\in[l,r]$ ，求 $A_i$ 的最大值。
5 l r：对于所有的 $i\in[l,r]$ ，求 $B_i$ 的最大值。
在每一次操作后，我们都进行一次更新，让 $B_i\gets\max(B_i,A_i)$ 。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$ ，分别表示数列 $A$ 的长度和操作次数。

第二行包含 $n$ 个整数 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ ，表示数列 $A$ 。

接下来 $m$ 行，每行行首有一个整数 $op$ ，表示操作类型；接下来两个或三个整数表示操作参数，格式见【题目描述】。

输出格式

对于 $op\in\{3,4,5\}$ 的操作，输出一行包含一个整数，表示这个询问的答案。

输入

输出

解题思路

代码

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
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posted @ 2021-09-22 18:28 zyy2001 阅读(43) 评论(0) 编辑收藏举报

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发表于 2021-09-22 18:28阅读：43评论：0推荐：0

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