O(n)递(逆)推求乘法逆元

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P3811 【模板】乘法逆元

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题目描述

给定 \(n,p\)， 求 \(1\sim n\) 中所有整数在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。

输入格式

一行两个正整数 \(n,p\)。

输出格式

输出 \(n\) 行，第 \(i\) 行表示 \(i\) 在模 \(p\) 下的乘法逆元。

输入

10 13

输出

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

说明/提示

\(1 \leq n \leq 3 \times 10 ^ 6, n < p < 20000528\)
输入保证 \(p\) 为质数。

解题思路

线性求逆元

1. \(1^{−1}≡1(mod\,p)\)
2. 设 \(p=k\times i +r,(1<r<i<p)\), \(k\) 是 \(p / i\) 的商，\(r\) 是余数,则：

\[k\times i+r≡0(mod\,p) \]

然后乘上\(i^{-1} ,r^{-1}\) 就可以得到:

\[k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod p \]

\[i^{-1}\equiv -k*r^{-1} \pmod p \]

\[i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p \bmod i)^{-1} \pmod p \]

可以发现，这是个递推式~

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e6+10;
int inv[N];
int n,p;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    puts("1");
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=1ll*(-p/i+p)*inv[p%i]%p;
        printf("%d\n",inv[i]);
    }
    return 0;
}

逆推求阶乘逆元

假设我们已经求出 \(n!\) 的逆元 \((n!)^{-1}\)，现在我们要求 \((n-1)!\) 的逆元，而：

\[n! \times (n!)^{-1} \equiv1 (\bmod p) \Longleftrightarrow (n-1)! \times n (n!)^{-1} \equiv1 (\bmod p) \]

即 \((n-1)!\) 的逆元为 \(n (n!)^{-1}\)，反过来，\(n\) 的逆元为 \((n-1)! \times (n!)^{-1}\)

• 时间复杂度：\(O(n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e6+10;
int n,p;
int fact[N],inv_fact[N];
int ksm(int a,int b)
{
    int res=1%p;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1)res=1ll*res*a%p;
        a=1ll*a*a%p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%p;
    inv_fact[n]=ksm(fact[n],p-2);
    for(int i=n-1;i;i--)
        inv_fact[i]=1ll*(i+1)*inv_fact[i+1]%p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",int(1ll*fact[i-1]*inv_fact[i]%p));
    return 0;
}