同余方程、乘法逆元

题目链接

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

P2613 【模板】有理数取余

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P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

题目描述

求关于x的同余方程 $a x \equiv 1 \pmod {b}$ 的最小正整数解。

输入格式

一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。

输出格式

一个正整数 $x_0$ ，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入

3 10

输出

7

说明/提示

【数据范围】

对于 $40\%$的数据，$2 ≤b≤ 1,000$；

对于 $60\%$的数据，$2 ≤b≤ 50,000,000$；

对于 $100\%$的数据，$2 ≤a, b≤ 2,000,000,000$。

解题思路

线性同余方程：给定整数 $a,b,m,$ 求一个整数 $x$ 满足 $a \times x \equiv b(\mod m)$，或者给出无解。

$$a \times x \equiv b(\mod m) \Longleftrightarrow a \times x-b \, 是 \, m \, 的倍数，设为-y倍，即：a \times x +m\times y=b$$

此时将问题转化成了扩展欧几里得算法
有解时，求出一组整数 $x_0,y_0$，满足 $a\times x_0 +m \times y_0 =gcd(a,m)$，则通解：

$$x=x_0\times \frac{b}{gcd(a,m)}+k\times \frac{m}{gcd(a,m)}$$

代码

• 时间复杂度：$O(log(a+b))$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
LL a,b;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL z=x;
    x=y,y=z-y*(a/b);
    return d;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    LL x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld",(x+b)%b);
    return 0;
}

P2613 【模板】有理数取余

题目描述

给出一个有理数 $c=\frac{a}{b}$ ，求 $c \bmod 19260817$ 的值。

输入格式

一共两行。

第一行，一个整数 $a$。
第二行，一个整数 $b$。

输出格式

一个整数，代表求余后的结果。如果无解，输出 Angry!。

输入

233
666

输出

18595654

说明/提示

对于所有数据，保证 $0\leq a \leq 10^{10001} ，1 \leq b \leq 10^{10001}$ ，且 $a, b$ 不同时是 $19260817$ 的倍数。

解题思路

同余方程

求解 $\frac{a}{b} \bmod p$ 等价于求解 $x \equiv \frac{a}{b} (\bmod p)$ 的 $x \bmod p$，而：

$$x \equiv \frac{a}{b} (\bmod p) \Longleftrightarrow bx\equiv a (\bmod p)$$

即求解同余方程~
至于大数，将大整数根据秦九韶公式写成“自左向右”，取模即可~

• 时间复杂度：$O(log(19260817 +b))$

乘法逆元

显然，19260817 是质数，与 $b$ 互质时（即 $b \neq 0$ ）可直接通过乘法逆元求解

• 时间复杂度：$O(log(19260815))$

代码

• 同余方程

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const LL mod=19260817;
string a,b;
LL A,B;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL z=x;
    x=y,y=z-y*(a/b);
    return d;
}
int main()
{
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<a.size();i++)
        A=(A*10+a[i]-'0')%mod;
    for(int i=0;i<b.size();i++)
        B=(B*10+b[i]-'0')%mod;
    LL x,y;
    LL d=exgcd(B,mod,x,y);
    if(A%d)puts("Angry!");
    else
        printf("%lld",(x*A/d%mod+mod)%mod);
    return 0;
}

• 乘法逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const LL mod=19260817;
string a,b;
LL A,B;
LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL res=1%mod;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<a.size();i++)
        A=(A*10+a[i]-'0')%mod;
    for(int i=0;i<b.size();i++)
        B=(B*10+b[i]-'0')%mod;
    if(!B)puts("Angry!");
    else
        printf("%lld",(A*ksm(B,mod-2)+mod)%mod);
    return 0;
}

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本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15316975.html
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