(扩展)欧几里得算法、裴蜀定理(贝祖定理)
题目链接
acwing3642. 最大公约数和最小公倍数
acwing877. 扩展欧几里得算法
P4549 【模板】裴蜀定理
裴蜀定理:
- 对于任意整数 \(a,b\),存在一对整数 \(x,y\)， 满足
ax+by=gcd(a,b) - \(ax+by=c,x∈Z^∗ ,y∈Z^ ∗\) 成立的充要条件是\({\gcd(a,b)|c}\)。\(Z^*\)表示正整数集。
acwing3642. 最大公约数和最小公倍数
题目描述
输入两个正整数 \(m\) 和 \(n\)，求其最大公约数和最小公倍数。
输入格式
一行，两个整数 \(m\) 和 \(n\)。
输出格式
一行，输出两个数的最大公约数和最小公倍数。
数据范围
\(1≤n,m≤10000\)
输入样例：
5 7
输出样例：
1 35
代码
- 时间复杂度：\(O(log(a+b))\)
递归
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d %d",gcd(n,m),n*m/gcd(n,m));
return 0;
}
非递归
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
int tmp=n*m;
while(m^=n^=m^=n%=m);
printf("%d %d",n,tmp/n);
return 0;
}
acwing877. 扩展欧几里得算法
题目描述
给定 \(n\) 对正整数 \(a_i,b_i\)，对于每对数，求出一组 \(x_i,y_i\)，使其满足 \(a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)\)。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含两个整数 \(a_i,b_i\)。
输出格式
输出共 \(n\) 行，对于每组 \(a_i,b_i\)，求出一组满足条件的 \(x_i,y_i\)，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 \(x_i,y_i\) 均可。
数据范围
\(1≤n≤10^5, 1≤a_i,b_i≤2×10^9\)
输入样例：
2
4 6
8 18
输出样例：
-1 1
-2 1
代码
- 时间复杂度：\(O(log(a+b))\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;
x=y,y=z-y*(a/b);
return d;
}
int main()
{
int t;
for(scanf("%d",&t);t;t--)
{
int a,b,x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);
exgcd(a,b,x,y);
printf("%d %d\n",x,y);
}
return 0;
}
[P4549 【模板】裴蜀定理]
题目描述
给定一个包含 \(n\) 个元素的整数序列 \(A\)，记作 \(A_1,A_2,A_3,...,A_n\) 。
求另一个包含 \(n\) 个元素的待定整数序列 \(X\)，记 \(S=\sum\limits_{i=1}^nA_i\times X_i\)，使得 \(S>0\) 且 \(S\) 尽可能的小。
输入格式
第一行一个整数 \(n\)，表示序列元素个数。
第二行 \(n\) 个整数，表示序列 \(A\)。
输出格式
一行一个整数，表示 \(S>0\) 的前提下 \(S\) 的最小值。
输入
2
4059 -1782
输出
99
说明/提示
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 20\)，\(|A_i| \le 10^5\)，且 \(A\) 序列不全为 \(0\)。
代码
- 时间复杂度：\(O(\sum{log(a_i)})\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,res,other;
scanf("%d%d",&n,&res);
while(--n)
{
scanf("%d",&other);
res=__gcd(res,other);
}
printf("%d",abs(res));
return 0;
}
