(扩展)欧几里得算法、裴蜀定理(贝祖定理)

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acwing3642. 最大公约数和最小公倍数
acwing877. 扩展欧几里得算法
P4549 【模板】裴蜀定理

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裴蜀定理:

1. 对于任意整数 $a,b$,存在一对整数 $x,y$， 满足 ax+by=gcd(a,b)
2. $ax+by=c,x∈Z^∗ ,y∈Z^ ∗$ 成立的充要条件是${\gcd(a,b)|c}$。$Z^*$表示正整数集。

acwing3642. 最大公约数和最小公倍数

题目描述

输入两个正整数 $m$ 和 $n$，求其最大公约数和最小公倍数。

输入格式

一行，两个整数 $m$ 和 $n$。

输出格式

一行，输出两个数的最大公约数和最小公倍数。

数据范围

$1≤n,m≤10000$

输入样例：

5 7

输出样例：

1 35

代码

• 时间复杂度：$O(log(a+b))$

递归

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%d %d",gcd(n,m),n*m/gcd(n,m));
    return 0;
}

非递归

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int tmp=n*m;
    while(m^=n^=m^=n%=m);
    printf("%d %d",n,tmp/n);
    return 0;
}

acwing877. 扩展欧几里得算法

题目描述

给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。

数据范围

$1≤n≤10^5, 1≤a_i,b_i≤2×10^9$

输入样例：

2
4 6
8 18

输出样例：

-1 1
-2 1

代码

• 时间复杂度：$O(log(a+b))$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y,y=z-y*(a/b);
    return d;
}
int main()
{
    int t;
    for(scanf("%d",&t);t;t--)
    {
        int a,b,x,y;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

[P4549 【模板】裴蜀定理]

题目描述

给定一个包含 $n$ 个元素的整数序列 $A$，记作 $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ 。

求另一个包含 $n$ 个元素的待定整数序列 $X$，记 $S=\sum\limits_{i=1}^nA_i\times X_i$，使得 $S>0$ 且 $S$ 尽可能的小。

输入格式

第一行一个整数 $n$，表示序列元素个数。

第二行 $n$ 个整数，表示序列 $A$。

输出格式

一行一个整数，表示 $S>0$ 的前提下 $S$ 的最小值。

输入

2
4059 -1782

输出

99

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le 20$，$|A_i| \le 10^5$，且 $A$ 序列不全为 $0$。

代码

• 时间复杂度：$O(\sum{log(a_i)})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,res,other;
    scanf("%d%d",&n,&res);
    while(--n)
    {
        scanf("%d",&other);
        res=__gcd(res,other);
    }
    printf("%d",abs(res));
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/15315097.html
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