树

1、树的概念

　　结点：树中的数据元素
　　结点的度 degree：结点拥有的子树的数目称为度，记作 d(v)。
　　叶子结点：结点的度为 0，称为叶子结点 leaf、终端结点、末端结点
　　分支结点：结点的度不为 0，称为非终端结点或分支结点
　　分支：描述结点之间的关系
　　内部结点：除根结点和叶子结点外的分支结点
　　树的度是树内各结点的度的最大值。D 结点度最大为 3，树的度数就是 3
　　孩子（儿子 Child）结点：结点的子树的根结点成为该结点的孩子
　　双亲（父 Parent）结点：一个结点是它各子树的根结点的双亲
　　兄弟（Sibling）结点：具有相同双亲结点的结点
　　祖先结点：从根结点到该结点所经分支上所有的结点。A、B、D都是 G 的祖先结点
　　子孙结点：结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙。B 的子孙是 D、G、H、I
　　结点的层次（Level）：根节点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推，记作 L(v)
　　树的深度（高度 Depth）：树的层次的最大值。上图的树深度为 4
　　堂兄弟：双亲在同一层的结点。D、E

　　

 

　　有序树：结点的子树是有顺序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交换。
　　无序树：结点的子树是有无序的，可以交换。
　　路径：树中的 k 个结点 n1、n2、..... nk，满足 ni 是 n(i+ 1) 的双亲，称为 n1 到 nk 的一条路径。就是一条线串下来的， 前一个都是后一个的父（前驱）结点。
　　路径长度=路径上结点数-1，也是分支数
　　森林：m(m≥0) 棵不相交的树的集合
　　　　对于结点而言，其子树的集合就是森林。A 结点的 2 棵子树的集合就是森林

2、树的特点

　　唯一的根
　　子树不相交
　　除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有零个或多个后继
　　根结点没有双亲结点（前驱），叶子结点没有孩子结点（后继）
　　vi 是 vj 的双亲，则 L(vi) = L(vj)-1，也就是说双亲比孩子结点的层次小 1

　　堂兄弟的双亲是兄弟关系吗?不一定！

3、二叉树

　　每个结点最多2棵子树
　　二叉树不存在度数大于2的结点
　　它是有序树，左子树、右子树是顺序的，不能交换次序
　　即使某个结点只有一棵子树，也要确定它是左子树还是右子树

　　二叉树的五种基本形态：
　　　　空二叉树
　　　　只有一个根结点
　　　　根结点只有左子树
　　　　根结点只有右子树
　　　　根结点有左子树和右子树

4、斜树

　　左斜树，所有结点都只有左子树
　　右斜树，所有结点都只有右子树

5、满二叉树

　　一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点只存在在最下面一层。
　　同样深度二叉树中，满二叉树结点最多。
　　k 为深度（1≤k≤n），则结点总数为 2^k-1
　　　　一个深度为 4 的满二叉树，有 15 个结点

6、完全二叉树 Complete Binary Tree

　　若二叉树的深度为 k，二叉树的层数从 1 到 k-1 层的结点数都达到了最大个数，在第 k 层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树。
　　完全二叉树由满二叉树引出。
　　满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。
　　k 为深度（1≤k≤n），则结点总数最大值为 2^k-1，当达到最大值的时候就是满二叉树。

7、二叉树的性质

性质1：
　　在二叉树的第 i 层上至多有 2^(i-1) 个结点 (i≥1)

性质2：
　　深度为 k 的二叉树，至多有 2^k-1 个节点 (k≥1)
　　　　一层 2-1=1
　　　　二层 4-1=1+2=3
　　　　三层 8-1=1+2+4=7

性质3：
　　对任何一棵二叉树 T，如果其终端节点数为 n0，度数为 2 的结点为 n2，则有 n0=n2+1
　　换句话说，就是叶子结点数-1 就等于度数为 2 的结点数。
　　证明：
　　　　总结点数为 n=n0+n1 +n2，n1 为度数为 1 的结点总数。
　　　　一棵树的分支数为 n-1，因为除了根结点外，其余结点都有一个分支，即 n0+n1+n2-1。
　　　　分支数还等于n0*0+n1*1+n2*2，n2 是 2 分支结点所以乘以2，2*n2+n1。
　　　　可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1 → n2=n0-1

其他性质：
　　高度为 k 的二叉树，至少有 k 个节点。
　　含有 n（n≥1）的节点的二叉树高度至多为 n，和上句一个意思。
　　含有 n（n≥1）的结点的二叉树的高度至多为 n，最小为 math.ceil(log2 (n+ 1))，不小于对数值的最小整数，向上取整。
　　假设高度为 h，2^h-1=n → h = log2 (n+1)，层次数是取整。
　　如果是 8 个节点，3.1699 就要向上取整为 4，为 4 层。

性质4：
　　具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 int(log2n) + 1 或者 math.ceil(log2(n+ 1))

性质5：
　　如果有一棵 n 个结点的完全二叉树（深度为性质4），结点按照层序编号，如图：

　　

 

　　如果 i=1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲，如果 i>1，则其双亲是 int(i/2)，向下取整。就是子节点的编号整除 2 得到的就是父结点的编号。父结点如果是 i，那么左孩子结点就是 2i，右孩子结点就是2i+1。
　　如果 2i>n，则结点 i 无左孩子，即结点 i 为叶子结点，否则其左孩子结点存在编号为 2i。
　　如果 2i+1>n，则结点 i 无右孩子，注意这里并不能说明结点 i 没有左孩子，否则右孩子结点存在编号为 2i+1。